Integral $\int_0^\infty\frac {1} {\sqrt [3] {x}} \left (1 + \log\frac {1 + e ^ {x-1}} {1 + e ^ x} \right) dx$

Question

¿Es posible evaluar esta integral en una forma cerrada? $$ \int_0^\infty\frac {1} {\sqrt [3] {x}} \left (1 + \log\frac {1 + e ^ {x-1}} {1 + e ^ x} \right) dx$ $

Answer 1

Primero nos comente la siguiente identidad:

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{m-1}}{ze^{x} de {- 1} \, dx &= \int_{0}^{\infty} \frac{z^{-1}x^{m-1}e^{-x}}{1 - z^{-1}e^{-x}} \, dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} z^{-n} \int_{0}^{\infty} x^{m-1} e^{-nx} \, dx \\ &= \Gamma(s) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{-n}}{n^{s}} = \Gamma(s)\mathrm{Li}_{s}(z^{-1}) \end{align*}

que inicialmente tiene para $|z| > 1$, y luego se extiende holomorphically por $z^{-1} \noen (1, \infty]$ desde ambos lados definir holomorphic funciones en esta región. Ahora, integrando por partes,

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \left(1+\log\frac{1+e^{x-1}}{1+e^{x}}\right) \, dx &= \frac{3}{2} \int_{0}^{\infty} x^{2/3} \left( \frac{1}{(-1)e^{x} de {- 1} - \frac{1}{(-e^{-1})e^{x} de {- 1} \right) \, dx \\ &= \frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{5}{3} \right) \left\{ \mathrm{Li}_{5/3}(-1) - \mathrm{Li}_{5/3}(-e) \right\} \\ y= -\frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{5}{3} \right) \left\{ (1 - 2^{-2/3})\zeta(5/3) + \mathrm{Li}_{5/3}(-e) \right\}. \end{align*}

Casi no puedo creer que $\mathrm{Li}_{5/3}(-e)$ se puede simplificar más.