Urysohn de la función en un espacio métrico

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $A\subset B\subset X$. $A$ es cerrado, $B$ está abierto. Si hay métodos desarrollados para encontrar al menos una (o describir el conjunto de la clase) de Urysohn funciones para$A$$B^c$?

Editado: Martin ya ha presentado un buen ejemplo de un Urysohn de la función. Ahora me gustaría centrarme en mi segunda pregunta es sobre el conjunto de la clase $\mathcal U(A,B^c)$ de Urysohn funciones. Yo tenía una función de $u$ $0$ $B^c$ $1$ - y me gustaría comprobar si es continua (por lo que si se es $\mathcal U(A,B^c)$ de la clase). Si hay condiciones suficientes para demostrar que esta función es $\mathcal{U}(A,B^c)$ que permitir que me pase directo a la verificación de la continuidad de la $u$, o esta pregunta no tiene sentido y todo lo que puedo hacer - verificar la continuidad sin la teoría de Urysohn funciones?

Answer 1

EDIT 2: Como se ha señalado por Theo, mi solución original sólo funcionará si $d(A,B^c)>0$. (E. g. si $A$ o $B^c$ es compacto.) Sin embargo, la solución tomada desde Ammán y Escher del libro (véase la EDICIÓN de 1 a continuación) obras para arbitrario $A$$B$.

Nos deja denotar $\delta=d(A,B^c)$.

Definamos $f(x)=\frac1\delta d(x,A)$. Esta función es continua, $f(a)=0$$a\in A$$f(b)\ge 1$$b\in B^c$.

Del mismo modo definen $g(x)=\frac1\delta d(x,B^c)$.

Ahora defina $f'(x)=\min\{1,f(x)\}$$g'(x)=\min\{1,g(x)\}$. Estas funciones tienen propiedades similares, y además tienen valores en $[0,1]$.

Hay varias opciones para la función de Urysohn para$A$$B^c$:

$\frac{f'(x)+(1-g'(x))}2$, $\max\{f'(x),1-g'(x)\}$, $\min\{f'(x),1-g'(x)\}$.

Espero no haber supervisado algún error en el anterior razonamiento.

EDIT 1: de Acuerdo a la Proposición 4.13 en Amman, Escher: Análisis III, otra función es $\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B^c)}$. Tengo que admitir que esto es mucho más elegante de la construcción de la mina. (En mi notación es $\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}$.)