Demostrar que cualquier grupo finito $G$ de orden incluso contiene un elemento de orden $2.$

Question

Demostrar que cualquier grupo finito $G$ de su pedido contiene un elemento de orden $2.$[ Deje $t(G)$ el conjunto $\{g\in G|g\neq g^{-1}\}$. Mostrar que $t(G)$ tiene un número par de elementos, y cada nonidentity elemento de $G-t(G)$ orden $2$.]

Mi prueba:

Observe que para cualquier $g\in t(G)$ existe $g^{-1}(\neq g)\in t(G)$ ya que cada elemento en un grupo tiene una inversa. Así, si no se $n$ elementos que pertenecen a $t(G)$ debemos tener otro $n$ elementos que pertenecen a $G$. Por lo tanto, $t(G)$ tiene un número par de elementos. Ahora cualquier $g\in G-t(G)$ también debe tener inverso $g^{-1}(=g)\in G-t(G)$ ya que todos los $g\neq g^{-1}$ pertenecen a $t(G)$, de modo que todos los elementos, excepto la identidad en $G-t(G)$ ha $g=g^{-1}$ $g^2=id$ es decir, cada elemento de la $G-t(G)$ orden $2.$ por lo Tanto, podemos concluir que existe al menos un elemento de orden $2.$$G$.

¿Alguien puede revisar mi prueba? Gracias.

Answer 1

La prueba tiene dos problemas principales.

• Cuando usted toma un elemento $g\in t(G)$, puede asignarla a su inverso, que está de nuevo en $t(G)$, como usted ha dicho. Desde $g\neq g^{-1}$, se ve que ha vinculado los elementos de $t(G)$. Que le permite a la conclusión de que el orden de $t(G)$ es incluso.
• Ahora tienes que usar el hecho de que tanto el orden de $G$ e de $t(G)$ son incluso a la conclusión de que existe una falta de identidad elemento no en $t(G)$.

Answer 2

Si utilizamos la definición de $$t(G) = \lbrace g \in G \vert g \neq g^{-1} \rbrace,$$, por favor, utilice mis sugerencias.

Tengo un problema con la declaración "Así, si no se $n$ elementos que pertenecen a $t(G)$ debemos tener otro $n$ elementos que pertenecen a $G$." ¿Cómo se puede concluir de no ser $n$ elementos en $t(G)$ nada acerca de $G$?

Para mostrar que $t(G)$ es incluso, es posible que desee encontrar una manera para vincular todos los elementos de a $t(G)$ y mostrar que cada par contiene los elementos distintos de a $t(G)$.

Por último, ¿donde te muestran que $G - t(G)$ contiene nada, excepto la identidad?

Answer 3

Parece ser un error en la (pista-parte?) pregunta a sí mismo: $t(G) = \{g\in G|g = g^{-1} \text{, i.e. } g^{2} = 1\}$ es exactamente el conjunto de elementos de $G$ que tienen orden de 1 o 2, y así cada elemento de identidad de $t(G)$ es de orden 2, y no hay elemento de $G-t(G)$ es de orden 2.

La sugerencia debe leer: [Deja a $t(G)$ el conjunto $\{g\in G|g=g^{-1}\}$. Mostrar que $G-t(G)$ (y por lo tanto también se $t(G)$) tiene un número par de elementos, y cada nonidentity elemento de $t(G)$ es de orden 2.]

Para su prueba, la primera línea se contradice con la definición de $t(G)$; usted no puede tener $g\in t(G)$$g^{-1}\neq g$. Trate de cambiar los roles de $t(G)$$G-t(G)$, y a mí me parece que la prueba es principalmente correcta.

En su último paso, es decir que cada elemento de a $t(G)$ es de orden 2 cuando creo que quiso decir cada elemento de identidad es de orden 2. Dado este resultado, sin embargo, ¿por qué llegamos a la conclusión de que hay un elemento de orden 2 en $G$? En otras palabras, ¿qué es lo que garantiza $t(G)$ tiene más que el elemento de identidad? Usted todavía necesita usar el hecho de que $|G|$ sí es aún!

Como nota al margen, si bien no es necesario entrar en muchos detalles para una rigurosa prueba, intente demostrar (para sí mismo), por lo que debe ser que si no se $n$ distintos elementos en $G-t(G)$ que sus inversos, de hecho, proporcionan otro $n$ los distintos elementos. Es decir, si $a,b\in G-t(G)$$a\neq b$, por eso se debe a $a^{-1}\neq b^{-1}$?

Answer 4

El siguiente argumento no es diferente en esencia de muchos de los anteriores, pero pueden ser más conciso: Al menos un elemento de a $G$ es su propio inverso (de la identidad). Si no hay ningún otro elemento de $G$ es su propio inverso, entonces la no-identidad de los elementos de $G$ puede ser dividido en mutuamente inversas de parejas, por lo $G$ ha extraña orden.