Número de puntos en que la tangente toca a una curva

Question

Mi profesor me dijo que nos equivoquemos al salir de la escuela que la tangente tocuhes un punto en un punto. Según él, una tangente es sólo un tipo especial de la secante donde dos puntos de compartir la misma posición, pero en realidad son sólo dos puntos diferentes.

Mi amigo le dijo que podría suceder si pensamos en la tangente como una secante donde los dos puntos que tienden el uno al otro.

Yo no estoy satisfecho con ella. Según mi maestro, los puntos de compartir la ubicación, pero son diferentes. Desde un punto de su posición como su propiedad, ¿cómo se diferencian entre sí? E. g. si tomamos el conjunto de puntos en los que la tangente toca a la curva (en una lo suficientemente pequeño vecindario alrededor de los puntos), obtenemos un único punto dado un conjunto no permite entradas redundantes.

(Por otra parte, mi maestro trató de explicación de su posición usando la fórmula cuadrática de tomar una ecuación cuadrática como ejemplo; pero yo no reconocen su importancia, excepto que una ecuación cuadrática tiene dos raíces, y tal vez que la tangente tiene una solución con la curva. Pero no es el problema, para empezar, ¿cuántas soluciones de los dos?)

Y yo podría estar de acuerdo con mi amigo, pero si tomamos una curva a ser $y = x^2$ y la tangente a ser $y = 0$ que no hay ningún punto con la excepción de $(0,0)$ que es común a ellos. No hay punto en el que cualquier pequeña vecindad de $(0,0)$ es común a ambos. Que parece que sólo refuerzan a mí mismo.

Pregunta

Cómo muchos puntos de la tangente y su curva de compartir realmente? Y si son más de uno, ¿cómo pueden ser diferenciados? Es decir, ¿cuál es la aplicación de un tratamiento de dos posiciones con la misma posición de manera diferente?

Answer 1

El problema aquí depende del contexto. Por ejemplo, si uno está contando el número de raíces de una ecuación de decir $y=(x-r)^n p(x)$ $p(r)\neq 0$ a veces uno quiere contar la raíz de $x=r$ n veces, y por lo tanto el tratamiento de la línea de $y=0$, que es tangente a $x=0$ al $n>1$, ya que la reunión de la curva de a $n$ puntos.

Este tipo de cosas sucede con los pedidos en la geometría algebraica y análisis complejo, por ejemplo.

Para tomar el cuadrática ejemplo, la línea de $y=0$ cumple con la curva de $y=x^2$ en el punto de $(0,0)$. Si quieres decir algo así como "cada ecuación cuadrática en una variable sobre la $\mathbb C$ tiene dos raíces", usted debe contar dos veces, y el uso de una frase como "raíces cuentan con sus multiplicidades".

Pero creo que el verdadero error es ser dogmático, ya que la respuesta "correcta" depende de cómo el más amplio contexto matemático se enmarca el problema de la intersección - y habrá algunos contextos en los que una respuesta dogmática de cualquier sabor va a ser simplemente malo.

Es útil pensar acerca de las multiplicidades idea, aunque, porque no llegar a ser muy útil.

Answer 2

Literalmente, su maestro está mal. La línea tangente cumple con la curva en el punto a, que es tangente, y como se nota en tu post, este punto es un punto. (Aquí estoy ignorando el hecho de que la tangente también puede intersectar la curva en algunos otros, no relacionados punto, si la curva no es convexo --- este es un problema no relacionado.)

Lo que el maestro tenga en cuenta, sin embargo, es que la curva es el límite de las secantes a través de un par de puntos, el límite de ser tomada como los dos puntos del par tienden a un punto en el que usted está tomando la tangente.

Relacionado con esta foto de tener un límite de la secante líneas, en algunas partes de las matemáticas, también se dice que la recta tangente cumple con la curva en un "doble punto". Pero esto no significa que la tangente se reúne la curva en dos puntos; más bien, es un corto de la mano la forma de expresar la manera particular en que la tangente de la línea cumple con la curva en el punto de tangencia.

Answer 3

El hecho de que la tangente a una curva, que se define como el límite de una variable de la secante, corta a la curva en dos indistinguibles de los puntos es claro, geométrica...y completamente absurdo desde un riguroso punto de vista!

Grothendieck en la década de 1950 encontrado la solución a la que siglos de antigüedad farsa: su esquema de la teoría define la intersección como punto de contacto, además de un anillo cuyo tamaño refleja el grado de tangencia.
En el ejemplo de la tangente $y=0$$y=x^2$, el anillo es $\mathbb R[x]/(x^2)$ y tiene un tamaño de (=dimensión de un espacio vectorial) 2.
En el caso de la tangente $y=0$ a la curva de $y=x^3$, el tamaño sería de 3, lo que indica un mayor contacto de la tangente a la curva.
Y por supuesto, para la curva de $y=x^n$, el tamaño sería n.
Uno de los revolucionarios de los aspectos de este punto de vista es que la tangencia se convierte en un completo concepto estático: no complicados cálculos de los límites de secantes están involucrados.

[Esta respuesta se encuentra en un nivel más avanzado de cálculo, pero menos de lo que uno podría pensar.
Podría ayudar a poner las cosas en perspectiva y tal vez sirvan como un poco enigmático imán a una versión más sofisticada de la geometría.]

Answer 4

La tangente a una curva en un punto se define como el límite (si existe) de la secante a través del punto y otro punto sobre la curva como el otro punto se acerca al primer punto.

Por ejemplo, para la parábola $y = x^2$$x = 0$, si el otro punto es sobre la parábola en $x = a$$(a, a^2)$. Este secante es la línea de $y = a\ x$ (esto es$0$$x = 0$$a^2$$x = a$).

Como $a$ enfoques $0$ (y esto es donde usted necesita saber lo que "límite"), ésta se aproxima a la línea de $y = 0$, y esta línea es la tangente a la parábola en $x = 0$.

En cuanto a la cantidad de puntos de una curva y su tangente de "compartir" en un punto, la respuesta es generalmente de uno si la curva es bastante lisa y sólo nos fijamos cerca del punto. Por ejemplo, con la curva de $y = \cos x$, la tangente en a $x = 0$ pasa a través de $(2\pi k, 1)$ para todos los enteros $k$, pero sólo $(0, 1)$ está cerca de los otros al menos $2\pi$ distancia.

Sin embargo, si se considera la curva de $y = \cos(1/x)$$x \to 0$, las cosas se ponen más interesantes, y no voy a parar.

Si usted está teniendo problemas, eso está bien - tomó un tiempo antes de que el límite de la definición de tangente a ser entendido.