Considerando un campo de vectores con una fuente y un sumidero en un número finito de comact espacio, hay límites en la longitud de las curvas integrales?
Específicamente, estoy interesado en la duración media de todas las curvas integrales.
Para hacerlo más fácil, podríamos restringir endeudamos frente a todo lo que es suave y dos dimensiones.
Aquí un físico más motivación, por lo que uno puede imaginar mejor el problema:
Dicen que usted tiene un número finito de volumen con uno de entrada y uno de salida. Tengo algunas física de gas en la mente y el flujo de $\phi(t)$ a través de cualquier punto fijo determinado por el campo de velocidad $X$. La duración media estaría asociada con un tiempo promedio de residencia de las partículas en el volumen. La geometría de que el volumen puede ser como usted desea. Yo estaría interesado en los cilindros, pero cualquiera de las esquinas pueden ser emparejados y no hay bucles.
Mi routh idea es (y todas las siguientes ecuaciones son meramente intuitivo verbalizaciones de mis pensamientos) que la integral de las líneas de $\phi_s(t)$ parametrizada en $t$ son una familay en $s$ (o más parámetros en un espacio dimensional superior) y una vez que el consejo de la ecuación, decir $\dot \phi_s(t)=X(x_{t,s},y_{t,s})$ se da la desviación de la integral de la curva de $\phi_{s_0}(t)$ a la próxima $\phi_{s_0+\text ds}(t)$ debe ser determinada por el campo de $X$. Si $L_s=\int\phi_s(t)\text d t$ es la longitud de la línea de flujo/curva integral con el parámetro $s$, entonces supongo que la duración media es $\langle L_s\rangle=\frac{\int\int\phi_s(t)\text d t\text d s}{\int\text d s}$.
Lo que puedo ver, y lo que está de acuerdo con esta son curvas, que effectly no dependen $s$. Por ejemplo, si consideramos una esfera de radio $R$ y una fuente en un punto, un lavabo en su antípoda y las líneas de flujo a lo largo de la longitud, a continuación, $\langle L_s\rangle=\frac{\int\int\phi_s(t)\text d t\text d s}{\int\text d s}=\frac{\int\text d s\int\phi_s(t)\text d t}{\int\text d s}=\int\phi_s(t)\text d t=\pi R$. El paso de $\frac{\int\int\phi_s(t)\text d t\text d s}{\int\text d s}=\frac{\int\text d s\int\phi_s(t)\text d t}{\int\text d s}$ debe generalizar a todos los de la curva para la cual la Mentira derivados a lo largo de $s$ se desvanece.
