¿Qué es exactamente una dimensión?

Question

Tal vez sea una pregunta demasiado amplia, quizá deba ser más específico. Sólo estoy aclarando mi cabeza aquí, siéntase libre de ignorar a su gusto. En álgebra lineal, aprendimos que la dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en su base. Esto para mí tiene sentido, ya que según mi entendimiento, la dimensión de algún espacio o algún conjunto con alguna "estructura en él (lo siento, no sé cómo ponerlo) es el número de independientes "parámetros necesario para especificar cada "punto en ella. ¿Esta misma comprensión de la dimensión se traslada, por ejemplo, a un espacio topológico o a otro tipo de espacio? He leído el siguiente párrafo en Topología básica por M.A. Armstrong

Tomando la dimensión de $X$ para ser el menor número de parámetros continuos necesarios para especificar cada punto de $X$ no es bueno. El ejemplo de Peano muestra que el cuadrado tiene dimensión 1 bajo esta definición.

Esto me hace la cabeza un poco. ¿Cuál es la dimensión de, por ejemplo, una esfera o un toroide? ¿Qué significa decir que una superficie es un colector topológico bidimensional? ¿O es que lo hemos definido así, es decir, que decimos que un conjunto $A$ se dice que tiene dimensión $n$ si tal o cual cosa es cierta? ¿Hay algún principio básico que guíe estas definiciones? La siguiente definición también me confunde si la pienso demasiado

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre un campo arbitrario F. El espacio proyectivo $P(V)$ es el conjunto de subespacios vectoriales unidimensionales de $V$ . Si $dim(V ) = n + 1$ entonces el dimensión del espacio proyectivo es $ n.$

¿En qué sentido tiene la dimensión $n$ ? ¿Por qué y en qué se diferencia del espacio vectorial original? Me estoy encogiendo sólo de pensarlo. Lo siento, ahora estoy divagando...

Answer 1

Hay varias definiciones de dimensión, según el contexto. Tienes razón en cuanto a la definición de la dimensión de un espacio vectorial. Del mismo modo, a menudo definimos la dimensión de un colector (algo así como un toroide, una esfera, etc.) que localmente parece $\mathbb{R}^n$ para ser $n$ por la misma razón. Si cada punto "requiere localmente $n$ parámetros", decimos que es $n$ -dimensional.

Sin embargo, definir la dimensión diciendo que "requiere localmente $n$ Los "parámetros" no son en realidad una buena definición, por la razón que citas arriba. Con el uso de una curva de llenado de espacio, en realidad se puede describir un cuadrado como la imagen de una línea bajo una función continua (aunque no muy bonita), y así se puede describir un cubo como la imagen de una línea también, y así sucesivamente. Así que tenemos que ser un poco más cuidadosos.

En el caso de las variedades, describimos la dimensión diciendo que nuestra parametrización tiene que ser lo suficientemente buena, es decir, no sólo necesitamos parametrizarla mediante un mapa continuo, sino también que el mapa continuo sea invertible. Si se piensa en esto, tiene sentido, y es similar a lo que utilizamos para describir los espacios vectoriales. Una base nos da un mapa $$ \phi : V \to \mathbb{R}^n $$ para algunos $n$ tomando $$ \phi(a_1\vec{v_1} + \cdots a_n\vec{v_2}) = (a_1, \ldots a_n) $$ que es claramente invertible.

Hay otras nociones de dimensión que se pueden utilizar para los espacios topológicos, pero para cosas como esferas, toros, etc., esto funciona muy bien y coincide con nuestra intuición.

Además, en cuanto al espacio proyectivo, veamos el ejemplo más sencillo: Consideremos $\mathbb{P}(\mathbb{R}^2)$ o el espacio de las líneas en el plano (que es bidimensional).

En este caso, las líneas se especifican eligiendo una dirección, que es casi lo mismo que elegir un vector, pero no nos importa su longitud, ni tampoco su orientación. Así que esto es lo mismo que elegir un punto en el círculo unitario, digamos, donde identificamos un elemento $(x,y)$ con su negativa $(-x,-y)$ que, al fin y al cabo, define la misma línea. Así, $\mathbb{P}(\mathbb{R}^2)$ puede verse como el círculo con puntos antipodales identificados, que es unidimensional.

Answer 2

En cuanto a $P(V)$

Todos los subespacios 1-dim de $\mathbb{R}^3$ son líneas que pasan por el origen porque el cero tiene que pertenecer al subespacio. La colección de líneas (objetos) son un espacio vectorial para la definición adecuada del vector. Asocie a cada línea su punto de intersección con algún plano, digamos $x=1$ . Entonces estos puntos constituyen un $2$ -espacio vectorial dim.

El argumento sería similar para la intersección de todos los $1$ -subespacios de $\mathbb{R}^n$ (líneas que pasan por el origen) con un plano de dim $n-1$ .