¿Diferencia entre equivalencia de homotopía y equivalencia de homotopía basada?

Question

Como sugiere la pregunta, ¿cuál es la diferencia entre la equivalencia de homotopía y la equivalencia de homotopía basada?

Answer 1

Un ejemplo estándar es tomar $H$ para ser el pendiente hawaiano, que tiene un punto salvaje en $0$ . El cono $CH$ en $H$ es contraíble, como cualquier cono; pero para contraerlo hay que desplazar la base "hacia arriba" del cono hasta el vértice; si el punto base se toma como el punto salvaje de la parte inferior del cono, entonces no se puede contraer $CH$ manteniendo ese punto fijo.

Esta cuestión sobre los puntos de base forma parte de una teoría más general sobre los mapas de los espacios $$\begin{matrix} A & \xrightarrow{g} & B \\ i \downarrow && \downarrow j\\ X & \xrightarrow{f} & Y \end{matrix} $$ donde $i,j$ son inclusiones y $g,f$ son equivalencias de homotopía. Es entonces $(f,g)$ ¿una equivalencia homotópica de pares? Esto es cierto si $i,j$ son cofibraciones: véase 7.4.2 de Topología y Groupoides .

Answer 2

La diferencia entre las homotopías libres/basadas, es que en estas últimas sustituimos todas las definiciones por definiciones basadas. Es decir, una homotopía entre mapas de pares $f,g: (X,x)\to (Y,y)$ requiere ser un mapa de pares:

$$ H: (X\times I, x \times I) \to (Y,y). $$

Ahora para la definición de una equivalencia de homotopía sigue lo obvio (que requerimos para tener mapas basados y homotopías basadas).

Nótese que la definición basada es más restrictiva ya que requerimos fijar el punto base todo el tiempo $I$ durante la homotecia. Por ejemplo, si no exigiéramos que el grupo fundamental consistiera en clases de homotopía basadas en bucles, la conjugación allí sería trivial.