Ejemplo de espacio de Banach reflexivo no

Question

¿Cómo uno demostrar que $C^0([0;1],\mathbb{R})$ equipado con la norma sup no es reflexiva?

No entiendo cómo demostrar que la asignación de $J$ no es sobreyectiva.

Answer 1

Como hemos visto en la pregunta anterior, si $E$ es reflexiva espacio de Banach, a continuación, cada uno lineal continuo funcional alcanza su norma. Así, con el fin de mostrar que el $E:=C^0([0,1],\Bbb R)$ dotado con el supremum de la norma no es reflexivo, es suficiente para encontrar un funcional lineal que no es norma alcanzar. Podemos definir $$x'(f):=\int_0^{1/2}f(t)\mathrm dt-\int_{1/2}^1f(t)\mathrm dt;$$ $x'$ es lineal y $|x'(f)|\leqslant \lVert f\rVert_{\infty}$, por lo tanto $x'$ es continua y su norma es $\leqslant 1$.

Para ver que la norma es, de hecho, $1$ $n$ entero, considere una función de $f_n$$1$$[0,1/2-1/n)$$-1$$(1/2+1/n,1)$, y lineal en $(1/2-1/n,1/2+1/n)$. Podemos ver que $\lVert f_n\rVert=1$$x'(f_n)=1-2/n$.

Ahora, tenemos que demostrar que podemos encontrar las $f\in E$ tal que $x'(f)=1$$\lVert f\rVert=1$. Deje $f$ ser continuo de la norma $1$. Tenemos que mostrar que $x'(f)\neq 1$, para un fijo $\varepsilon>0$ podemos encontrar $\delta>0$ tal que $|f(t)-f(1/2)|\leqslant \varepsilon$ siempre $|t-1/2|\leqslant \delta$. Desde $$\tag{*} x'(f)=\int_0^{1/2-\delta}f(t)\mathrm dt+\int_{1/2-\delta}^{1/2+\delta}f(t)\mathrm dt -\int_{1/2+\delta}^1f(t)\mathrm dt,$$ podemos suponer que $f(x)=1$$[0,1/2-\delta]$$f(x)=-1$$[1/2+\delta,1]$, de lo contrario está claro que $x'(f)\neq 1$.

Por (*), se deduce que el $|x'(f)|\leqslant 1-2\delta+2\delta\varepsilon+\delta| f(1/2)|$. Tomando $\varepsilon\lt 1-|f(1/2)|$, obtenemos que $|x'(f)|\lt 1$.

Answer 2

también puede utilizar los siguientes hechos:

• $BV[a,b]$ no es separable,
• $C[a,b]$ es separable,
• Si $X$ es un espacio de Banach y $X^*$ es su doble y es separable, entonces $X$ es separable.

$BV[a,b]$ Es el doble de $C[a,b]$, reflexividad implica $BV[a,b]$ es separable.