Desigualdad de expectativa condicional

Question

Tengo tres variables aleatorias que son dependientes, $\theta, Y,X$. En virtud de que las condiciones en las distribuciones que se hace de la siguiente consecuencia: se

Para una función conocida $g(.)$, dos diferentes realizaciones $Y=y$ $Y=y'$ e la misma realización $X=x$, $$E[g(\theta)|Y=y]\neq E[g(\theta)|Y=y']\implies E[g(\theta)|X=x,Y=y]\neq E[g(\theta)|X=x,Y=y']?$$

Me parece que este se reduce a la búsqueda de condiciones para el consecuente sea verdadero, es decir, $E[g(\theta)|X=x,Y=y]\neq E[g(\theta)|X=x,Y=y']$$y\neq y'$.

Mis pensamientos: \begin{equation} E[g(\theta)|X=x,Y=y]=\int g(\theta) f(\theta|X=x,Y=y) d\theta, \end{equation} así que si $f(\theta|X=x,Y=y)$ primer orden domina estocásticamente $f(\theta|X=x,Y=y')$ o viceversa, a continuación, $E[g(\theta)|X=x,Y=y]\neq E[g(\theta)|X=x,Y=y']$ (asumiendo $g$ es estrictamente creciente o decreciente). Este es, por supuesto, sólo una suficiente y no condición necesaria, pero aún no es claro para mí cuando de primer orden de dominancia estocástica de $f(\theta|Y=y)$ $y$ implica que la primera orden de dominancia estocástica de $f(\theta|X=x,Y=y)$.

Alguna idea sobre que son muy apreciados. Gracias!

Answer 1

$$E[g(\theta)|Y=y]\neq E[g(\theta)|Y=y']\implies E[g(\theta)|X=x,Y=y]\neq E[g(\theta)|X=x,Y=y']?$$

El lado derecho (que tiene para todos los $x$) es más restrictivo/estrictos que los del lado izquierdo, y por lo tanto la proposición no debe ser cierto en general bajo ninguna supuestos adicionales.

Por supuesto, un "trivial" la interpretación de la desigualdad sugiere que el lado derecho será verdadero si "la realización concreta de $X$ no aporta ninguna información adicional para el cálculo de la expectativa", lo que sugiere que el $X$ $Y$ deberán ser independientes. Sin embargo, hay tres variables aleatorias, $\Theta$, $X$ y $Y$, y, a veces, que garantiza que sólo los pares de la independencia no es suficiente.

Un algo "formal" en la condición de $X$ es que el $X$ es independiente dado $Y$$\Theta$. Si es así,

$$ f(\theta, x, y) = f(\theta, y) f_{|\theta, y}(x) = f(\theta, y) f(x)$$, donde $f$ representa la p.d.f de una variable aleatoria, $f_{|\theta, y}(x)$ si el p.d.f. de $X$ $\Theta$, $Y$. En el último paso, hemos hecho uso de la independencia de $X$$\Theta$$Y$.

Si la condición anterior se cumple, entonces $$E[g(\Theta)|Y=y]={\int g(\theta) f(\theta, y) d\theta \over \int f(\theta, y) d\theta}$$, while $$E[g(\Theta)|X=x, Y=y] = {\int g(\theta)f(\theta, x, y)d\theta \over \int f(\theta, x, y) d\theta} = {\int g(\theta)f(\theta, y)f(x)d\theta \over \int f(\theta, y)f(x) d\theta} = {\int g(\theta)f(\theta, y)d\theta \over \int f(\theta, y) d\theta}$$ , donde en el último segundo paso hemos utilizado la independencia de $X$$\Theta$$Y$.