La serie $\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ ¡diferencia!

Question

Todos sabemos que la siguiente serie armónica

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\frac 1 1 + \frac 12 + \frac 13 + \cdots $$

¡¡diverge y crece muy lentamente!! He visto muchas pruebas del resultado pero recientemente he encontrado la siguiente: $$S =\frac 1 1 + \frac 12 + \frac 13 +\frac 14+ \frac 15+ \frac 16+ \cdots$$ $$> \frac 12+\frac 12+ \frac 14+ \frac 14+ \frac 16+ \frac 16+ \cdots =\frac 1 1 + \frac 12 + \frac 13 +\cdots = S.$$ De este modo, vemos que $S > S$ .

¿Podemos concluir de esto que $S$ ¿es divergente?

Answer 1

La prueba se puede hacer un poco más rigurosa estableciendo $$ \begin{align} a_n=\frac1n:&\,\quad1,\,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15,\frac16,\dots\\b_n=\frac1{2\lfloor(n+1)/2\rfloor}:&\quad\frac12,\frac12,\frac14,\frac14,\frac16,\frac16,\dots \end{align}\tag{1} $$ Tenga en cuenta que $a_n\ge b_n$ , $a_n\gt b_n$ cuando $n$ es impar, y $a_n=b_{2n-1}+b_{2n}$ .

Suponiendo que $$ \sum_{n=1}^\infty a_n\tag{2} $$ converge, entonces $$ \sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty(b_{2n-1}+b_{2n})=\sum_{n=1}^\infty a_n\tag{3} $$ también converge. Sin embargo, $$ \sum_{n=1}^\infty(a_n-b_n)\gt0\tag{4} $$ Desde $a_n\ge b_n$ y $a_n\gt b_n$ cuando $n$ es impar.

Ahora, $(3)$ dice que $$ \sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty a_n\tag{5} $$ y $(4)$ dice que $$ \sum_{n=1}^\infty b_n\lt\sum_{n=1}^\infty a_n\tag{6} $$ Estas dos últimas afirmaciones son contradictorias, por lo que la suposición de que $(2)$ converge debe ser falso.

Answer 2

Si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ ambos existen, $a_n\ge b_n$ para todos $n$ y $a_i>b_i$ para al menos una $i$ entonces la primera suma debe ser estrictamente mayor que la segunda. Esto se debe a que la suma parcial de la primera es siempre al menos $a_i-b_i$ más que las sumas parciales del segundo. En este caso, se puede razonar posteriormente que si el primero existe, el segundo también. Si este es su razonamiento, es válido.

Answer 3

He aquí otro enfoque para que la respuesta sea más rigurosa. Supongamos que la serie converge, entonces $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac1k &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{2k-1}+\frac1{2k}\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty\left[\left(\frac1{2k}+\frac1{2k}\right)+\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)\right]\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac1k+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac1k+\log(2) \end{align} $$ Los reordenamientos se justifican porque las series son todas de términos positivos.

La suma $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right) &=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}k\\[6pt] &=\log(2) \end{align} $$ es un conocido serie para $\log(2)$ .

Answer 4

Hay otra forma de abordar esto, a través de la integración: comparar - en el dominio $(1, \infty)$ la curva $y_1={1\over x}$ con la función de paso $y_2={1\over Floor(x)}$ (donde $Floor(x)$ es el mayor número entero $<x$ ).

Evidentemente, para cada $x\in (1,\infty)$ tenemos $0<y_1(x)\le y_2(x)$ Así que $\int_1^\infty y_1dx\le\int_1^\infty y_2dx$ Además, $\int_1^\infty y_2dx$ es sólo la suma de las series armónicas.

Pero integrando, obtenemos $\int_1^\infty y_1dx=\ln(x)\vert^\infty_1=\infty$ por lo que la serie armónica debe divergir.

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Por supuesto, esto no es riguroso, pero es una buena motivación, y se puede hacer riguroso sin mucho trabajo.

Answer 5

La prueba estándar que todo el mundo ha visto pero que nadie (o al menos no yo) recuerda es agrupar más y más términos, de forma que se vea que la serie es mayor que $1+\frac 12+\frac 12+\dots $ ...

¿Por qué no incluirlo aquí?

Es decir, si $S_n $ es el $n $ -ésima suma parcial, sólo hay que tener en cuenta que $S_{2n}-S_n=\frac 1 {n+1}+\dots +\frac1{2n}\gt \frac 12 $ ...

Así, la secuencia de sumas parciales no es Cauchy, por lo que la serie no converge... (o por comparación con $1+\frac 12+\frac 12+\dots $ )