Derecho medico adjunto conserva los productos

Question

Dadas dos categorías de aditivos para la $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ y un functor $F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$, entonces:

Definición: $F$ es aditivo iff $F$ convierte diagramas de producto en producto de diagramas.

Vi un argumento mediante el Yoneda Lema de que si tengo una contigüidad $F\dashv G$ entonces la secuencia natural de isomorphisms:

$\begin{array}{ccc} Hom(A,G(B \times C)) & \simeq & Hom(F(A),B\times C) \\ & \simeq & Hom(F(A),B)\times Hom(F(A),C) \\ & \simeq & Hom(A,G(B))\times Hom(A,G(C)) \\ &\simeq& Hom(A,G(B)\times G(C))\end{array};$

esto implica que $G(B \times C) \simeq G(B) \times G(C)$.

Pero, aquí sólo estoy diciendo que los objetos son isomorfos no se que $G$ conservas de productos de diagramas. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Objetos dados $B^{\prime}, C^{\prime}\in{\mathcal C}$, dotando de un objeto $X\in{\mathcal C}$ con la estructura de un producto de $B^{\prime}$ $C^{\prime}$ es la misma como la provisión de un isomorfismo $\text{Hom}_{\mathcal C}(-,X)\cong\text{Hom}_{\mathcal C}(-,B^{\prime})\times\text{Hom}_{\mathcal C}(-,C^{\prime})$ de functors ${\mathcal C}^{\text{op}}\to\text{Set}$. En su situación, $B^{\prime} = G(B)$, $C^{\prime} = G(C)$ y $X = G(B\times C)$, y en la cuarta etapa de la cadena de isomorphisms está hecho.

Tenga en cuenta que usted no tiene que asumir que el ${\mathcal C}$ tiene productos para que.

Answer 2

Creo que no has entendido de que el producto es determinado sólo hasta el isomorfismo, por otra parte, si $P$ es un producto de los objetos de $B$ $C$ (es decir, el siguiente diagrama es universal), $$\begin{matrix} P&\overset{\pi_B}\longrightarrow\ B \\ & \searrow{\scriptstyle{\pi_C} } \\ & \ \ \ C \end{de la matriz}$$ y $f:P\to Q$ es un isomorfismo, luego componer las dos piernas del producto diagrama de con $P$ $f^{-1}$ encontramos de nuevo un producto de diagrama, donde $Q$ desempeña el papel del producto objeto.

Ponerlo en otras palabras, se asume que los productos en $\mathcal C$ aún no están 'preparado', entonces todavía los primeros 3 isomorphisms de hom conjuntos de sentido y son válidos, por lo que $$\hom(A,G(P))\ \simeq\ \hom(A,G(B))\times\hom(A,G(C)) $$ lo que demuestra que $G(P)$ es un producto objeto. Si pones $A=G(P)$ y tomar el elemento $1_{G(P)}$ desde el lado izquierdo, compruebe que el anterior isomorphisms naturalmente va a evaluar $(G(\pi_B),G(\pi_C))$ como el elemento correspondiente en el lado derecho.