La comprobación de mi entendimiento: $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = \frac{1}{2}$

Question

He ejecutado recientemente en una prueba de que las reclamaciones que $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... = \frac{1}{2}$ que procede como sigue:

Deje $S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...$. Entonces $$S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - S$$ Therefore, $2S = 1$, so $S = \frac{1}{2}$. QED

Yo estaba bajo la impresión de que esta suma no convergen, y por lo tanto, este paso de la prueba no es válida:

Deje $S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...$

Es decir, no es válido suponer que la suma es igual a algunos (implícitamente real o complejo) número de $S$, y por lo tanto el razonamiento que sigue es de sentido porque $S$ no existe y por lo tanto tiene propiedades que se desea.

Es el razonamiento que he dado arriba es correcta? Es decir, es correcto para mí a la afirmación de que la prueba falla debido a $S$ no existe?

(He oído que hay técnicas para la evaluación de integrales divergentes mediante el análisis complejo y la serie de Taylor, así que tal vez hay otra manera de probar que la suma es $\frac{1}{2}$; sólo quería ver si mi razonamiento es suficiente para explicar por qué este particular, la prueba es incorrecta. Si la prueba de realidad es la correcta, entonces acepto la corrección!)

Gracias!

Answer 1

Si usted tiene algún método de fijación de una suma a una serie (por ejemplo, Cesaro suma, como se discutió en la Ayesha la respuesta, o Abel suma) que es lineal (es decir, el límite de una combinación lineal de dos de la serie coincide con la misma combinación lineal de los límites), y si $1- 1 + 1 - 1 + \cdots$ es summable con respecto a este método, entonces este argumento muestra que el valor de la suma tiene que ser $1/2$.

Por sí mismo, este argumento no le dirá si una determinada suma método se aplica a su serie, sin embargo.

Answer 2

La serie de curso no convergen - eso no quiere decir que no tiene una suma. De hecho, tenga en cuenta que el Cesaro medio de la serie tienden a 1/2, y por lo tanto la Cesaro suma es igual a 1/2.

Considerar las sumas parciales de la serie de $s_n$. Entonces decimos que la (C, 1) suma de la serie es el límite de $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}s_k $$ si este límite existe.

Para su serie, aquí, tenemos las sumas parciales $1, 0, 1. . .$ y por lo tanto la Cesaro medios $1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}. . . $ una secuencia tiende a 1/2. La prueba es un método heurístico de demostración de este riguroso hecho.