Derivado de la Categoría Coherente de las Poleas en Curvas Elípticas

Question

Sé muy poco acerca de la geometría algebraica, sin embargo, mientras que el estudio de la geometría no conmutativa algunos resultados mostraron que una categoría entiendo bien (holomorphic vector de paquetes de más de tori no conmutativa) fue equivalente a la derivada de la categoría coherente de las poleas sobre una curva elíptica. Así que, ¿cuál es la categoría de coherente poleas en una curva elíptica, ¿cuál es la derivada de la categoría, y ¿por qué son importantes para la geometría algebraica? Edit: Es la categoría de coherente poleas en una de las dimensiones superiores abelian variedad mucho más complicado que el de la categoría de coherente poleas en una curva elíptica?

Yo no se requiere necesariamente la mayoría de los técnicos de la cuenta; estoy realmente sólo buscan obtener un sentido de por qué estas cosas son importantes y qué información se codifican.

Edit: Ya que el post original parece dar a entender que me hizo ninguna investigación previa, aquí está lo que yo sé. La categoría coherente de las poleas es una expansión de la categoría de holomorphic vector de paquetes en una curva elíptica, de modo que la categoría se convierte en abelian. Esto es lo que le permite tomar la derivada de la categoría. Hay también una característica intrínseca de la caracterización coherente de las poleas, que es como la caracterización de un holomorphic vector paquete como un localmente libre gavilla de $O_X$ módulos, pero afloja el local condición libre. Yo no estaba buscando libros de texto de las definiciones, yo estaba buscando la intuición de que me ayudaría a entender por qué nos preocupamos acerca de este, incluyendo aplicaciones en el clásico de la geometría compleja.

Answer 1

La encuesta siguiente artículo de Orlov es quizás la mejor introducción a este tema.

D. O. Orlov, categorías Derivadas coherente de las poleas y de las equivalencias entre ellos, Uspekhi Mat. Nauk, 2003, Vol. 58, número 3(351), pp 89-172, traducción al inglés (PDF)

También hay muchas otras cuentas, por ejemplo, el libro por Huybrechts.

D. Huybrechts, transformadas de Fourier-Mukai en la Geometría Algebraica, Oxford University Press, USA, 2006.

Answer 2

Esto es más un comentario que una respuesta pero no tengo suficientes puntos para agregar un comentario. Le preguntó:

"Estoy realmente sólo buscan obtener un sentido de por qué estas cosas son importantes y qué información se codifican."

Coherente con poleas sobre régimen local (finitely generado) módulos sobre un anillo llaman R. las Personas suelen estar interesados en la comprensión de los anillos, o en el geométrica nivel, esquemas, y uno puede estudiar directamente, pero por alguna razón resulta ser muy útil para el estudio de ellos indirectamente por el estudio de \emph{módulos }$R$. Creo que esta es Morita teoría o incluso toda la filosofía detrás de la teoría de la representación. Si usted va para el estudio de los módulos, a continuación, usted a menudo puede entender por libre de tomar resoluciones, etc, y hacer álgebra homológica, y luego de álgebra homológica que se llevó bastante directamente a la derivada de la categoría de módulos (o su análogo, (cuasi)coherente con poleas). Y así podemos recuperar una gran cantidad de información acerca de un esquema de estudio no conmutativa la sombra, la derivada de la categoría coherente de las poleas. Y por ejemplo, hay varios famosos de los resultados como si de dos liso esquemas $X, Y$ han isomorfo categorías derivadas de coherente gavillas, a continuación, se $X$ $Y$ isomorfos? Bueno, no en general, pero en varios casos, es decir, bajo ciertas hipótesis sobre la dimensión canónico o paquete, la respuesta es sí.