Si $\gcd(m,n)=1$ entonces $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ es cíclico.

Question

Si $\gcd(m,n)=1$ entonces $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ es un grupo cíclico.

Denotemos $\mathbb{Z}_n=\langle1_n \rangle$ y $\mathbb{Z}_m=\langle1_m \rangle.$ Mi prueba es la siguiente: como $|\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m|=mn$ y $\gcd(m,n)=1$ , $|\langle 1_n,1_m\rangle|=\text{lcm}(|\langle 1_n\rangle|,|\langle 1_m\rangle|)=mn$ . Por lo tanto, el producto directo es cíclico. ¿Es correcta mi demostración?

Answer 1

Su prueba es correcta si realmente conoce el paso clave

$$ |(1_m, 1_n)| = \text{lcm}(|1_m|, |1_n|) $$

Si uno de mis colegas afirmara esto, creería que saben lo que hacen, pero de un estudiante podría ser escéptico. Probablemente debería explicar por qué cree que esto es cierto, a menos que piense que debería ser de dominio público.

(Dependiendo de cómo lo justifique, puede haber querido $\geq$ allí en lugar de $=$ )

En cualquier caso, esta afirmación es un caso especial del Teorema del Resto Chino.

Answer 2

Sí, funciona.

En general, si $R$ es un anillo conmutativo con $1_R$ y $I$ , $J$ son ideales coprimos (es decir $I+J = R$ ) entonces el mapa $R \to R\,/\,I \oplus R\,/\,J$ es suryente (Teorema del Resto de China).

Como consecuencia, el anillo $R\,/\,I \oplus R\,/\,J$ es cíclico.