Parece que no puede resolver esta ecuación diferencial

Question

Descargo de responsabilidad: Esta ES la tarea. Así que voy a describir los pasos que he tomado una donde estoy atascado.

Tengo el siguiente DE:

$$ xy' = y + x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right) $$

Yo luego de descartar los posibles métodos de solución:

• No separable
• No homogéneos
• No es exacto
• Posible factor de integración en $x$? No.
• Posible factor de integración en $y$? No.
• No lineal

De arriba son las únicas formas en que he aprendido a solucionar DEs. Para ayudar, he reescrito el DE en esta forma:

$$ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $$ $$ \left(y + x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\right)dx - xdy =0 $$ $$ M_{y} = 1 - 2\cos\left(\frac{y}{x}\right)\sin\left(\frac{y}{x}\right) $$ $$ N_{x} = -1 $$

Estoy perdido ahora. Me parece que no puede encontrar cualquiera de la integración de los factores ( $\frac{y}{x}$ ) dentro de la trigs están haciendo para que yo no puedo conseguir que las cosas sólo en términos de $x$ o $y$.

Answer 1

Dividir ambos lados por $x$, obtenemos $$\tag{1}y' =\frac{y}{x} + \cos^2(\frac{y}{x}).$$ Si dejamos $u=\displaystyle\frac{y}{x}$, luego tenemos a $y=ux$ y $$\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u.$$ Sustituir esto en $(1)$, tenemos $$x\frac{du}{dx}+u=u+\cos^2(u).$$ Creo que se puede resolver a partir de aquí.

Answer 2

Esta es la respuesta correcta a menos que cometí un error en mis cálculos.

$$y=x\arctan(kln(x))$$ k=const.