durante una clase nos encontramos con un mapa de $\Phi : \mathbb{Z}^n\to \mathbb{Z}^n$. Vimos que $\Phi\otimes 1_\mathbb{Q}$ fue un isomorfismo y, a continuación, el Profesor dijo que implicaba que $\Phi$ fue inyectiva. Por desgracia, no estoy seguro acerca de la razón de esto y quería preguntarle si usted me puede ayudar a entenderlo. Tengo dudas porque yo estaba estudiando en mi propia álgebra conmutativa y vio que yo puede tener dos módulos de $M'\subset M$, $N$ y una inclusión de $i: M'\to M$, pero $i\otimes 1: M'\otimes N\to M\otimes N$ no puede ser no inyectiva ($M'=2\mathbb{Z}$, $M=\mathbb{Z}$, $N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y considerar el elemento $2\otimes x=0 \in \mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $\neq 0 \in 2\mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$). Así entendí que el producto tensor debe ser considerado cuidadosamente en ambas direcciones: $\Phi\otimes 1_\mathbb{Q}$ inyectiva => $\Phi$ inyectiva; $\Phi$ inyectiva => $\Phi\otimes 1_\mathbb{Q}$ inyectiva. Me preguntaba si hay un objeto que mida el problema en ambas direcciones. Gracias por adelantado si usted puede ayudar con la primera parte de esta pregunta, el segundo o ambos. Gracias por la atención.
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Sugerencia: el punto fundamental aquí es que el $\mathbb{Z}^n$ es gratis.
La canónica mapa de $\def\Z{\mathbb{Z}}\def\Q{\mathbb{Q}}\Z\to\Q$ es inyectiva y puede identificar a $\Q$$\Z\otimes\Q$. Pero el producto tensor desplazamientos directo con sumas, por lo $\Z^n\to\Z^n\otimes\Q$ es inyectiva.
Es una forma de comprobar al ver que el diagrama $$ \begin{array}{c} \Z^n & \xrightarrow{\Phi} & \Z^n \\ \downarrow && \downarrow \\ \Z^n\otimes\Q & \xrightarrow{\Phi_{\Q}} & \Z^n\otimes\Q \end{array} $$ es conmutativa.
Hay otros casos en los que tensoring por $\Q$ refleja monomophisms (siempre conserva de ellos porque la $\Q$ es de torsión libre, por lo tanto plana), pero en una primera etapa, una prueba directa, el uso gratuito de $\Z^n$ le parece mejor.
Utilice el diagrama conmutativo
$\begin{array}{c} \mathbb{Z}^n & \xrightarrow{\Phi} & \mathbb{Z}^m \\ \downarrow && \downarrow \\ \mathbb{Q}^n & \xrightarrow{\Phi_{\mathbb{Q}}} & \mathbb{Q}^m. \end{array}$
Desde $\Phi_{\mathbb{Q}}$ es inyectiva y $\mathbb{Z}^n \to \mathbb{Q}^n$ es inyectiva, se deduce que el $\Phi$ es inyectiva.
