¿Es $e ^ {i\pi} + 1 = 0$ todos lo ' s ha hecho creer que?

Question

Mientras que es hermoso y elegante, y todo eso, ¿no es cierto que la identidad de Euler es realmente sólo un artefacto de cómo definimos el radián? Estoy hablando de aquellos que dicen que es muy bueno porque contiene cinco importantes constantes en una elegante identidad.

Si le había pegado con grados, sería $e^{180^\circ i}+1=0$, no es tan impresionante.

Entiendo que el radián es una forma natural y sin dimensiones de la unidad a utilizar para los ángulos, pero siento que todavía hay algún elemento de arbitrariedad que, al menos para mí, algo empaña la belleza de esta identidad.

Me estoy perdiendo algo que hace que esta relación entre la $e, \pi, i, 1,$ y $0$ incorporado a nuestro universo? O somos como los matemáticos como para pensar poéticamente?

Answer 1

Puede definir $e^{r+i\theta}$ como

$$e^r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$

donde el real exponenciación es criar una constante para la alimentación de $r$ y las funciones trigonométricas se pueden grados, radianes, o cualquier otra unidad que desee. Esto satisface la ley exponencial de cualquier manera, y esta definición de la función exponencial puede ser algo arbitrario.

Sin embargo, sólo cuando se considera el argumento en radianes hace a la identidad:

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!}$$

espera, y lo mismo para las funciones $\sin$ y $\cos$. El poder de la serie para $\sin$ (que como ustedes saben está estrechamente relacionado con el de $e^x$) es una forma $\pi$ puede ser definido; es decir, el más pequeño distinto de cero de la raíz de la función.

La belleza, por tanto, viene del hecho de que esta constante de $\pi$ es la relación del diámetro de un círculo a su circumfrence. Y que muchos históricamente temas independientes - trigenometry, variables complejas, el poder de la serie, todos vienen juntos para describir la misma cosa.

Creo que es muy cool.

Answer 2

La ecuación $e^{\pi i} + 1 = 0$ tiene nada que ver con nuestros convenios para la medida del ángulo. Si mido mi ángulos en radianes o grados o minutos o segundos, la ecuación $e^{\pi i} + 1 = 0$ es cierto. Aquí, $\pi$ es el "adimensional" número todos sabemos y el amor, definido como el cociente de la circunferencia de un círculo a su diámetro.

Podemos definir a la $e(z) = e^z$ a ser el único complejo-función derivable que satisface $e'(z) = e(z)$ y $e(0) = 1$. (Pero es que la entrada en radianes o grados? Tampoco! Las entradas son números, no los ángulos ni masas ni temperaturas.)

Con un poco de trabajo, uno puede demostrar que el número de $\pi$, la relación de la circunferencia al diámetro, satisface la ecuación $e^{\pi i} + 1 = 0$.

Ahora, el segundo que queremos dar una interpretación geométrica de las anteriores fórmulas que involucran ángulos, sólo entonces, tenemos que preocuparse acerca de si nuestro ángulos en radianes o grados. En ese caso, sí, nuestro geométricas interpretaciones son más limpios cuando las usamos radianes.

Finalmente, debo señalar que $e^{180 i} \neq -1$. Usted podría quejarse de que la pregunta era acerca $e^{180^\circ i}$, $e^{180 i}$. Mi pregunta es entonces: ¿qué significa exactamente conectando $180^\circ$ en una fórmula algebraica? Hay dos cosas diferentes que usted podría decir, y no conducen a respuestas diferentes.

Answer 3

Creo que el de Euler, debe haber sido sorprendido cuando descubrió la identidad. Yo creo que él estaba tan sorprendido por la identidad $e^{2\pi} = 1$.

Este es el punto. La historia de la $e$ y $\pi$ eran bastante independientes hasta ese momento. $\pi$ surgió debido considerando círculos, mientras que $e$ surgió de considerar cómo diferenciar exponenciales y logaritmos. Así a priori, los números $e$ y $\pi$ sería el pensamiento no relacionados.

Mus $e^{i\pi} = -1$ es una especie de teoría de la unificación en matemáticas en la misma forma como de Maxwell ecuaciones de unificar la electricidad y el magnetismo en la física. Esto significa que muchas declaraciones sobre la $e$ llevar $\pi$ y viceversa. Por ejemplo, si se puede probar que $e^\alpha$ es trascendental para cualquier algebraicas $\alpha$, se puede argumentar por la contradicción que $\pi$ debe ser trascendental.

Si tuviéramos que encontrar no-trivial de las relaciones entre estas y otras constantes matemáticas, como la de Euler–Mascheroni constante, o las raíces de las funciones de Bessel, nos gustaría ser igual de sorprendido. Después de todo, hay una razón por la que $\zeta(2)$ no tiene un nombre especial, ya que es de $\pi^2/6$, mientras que $\zeta(3)$ se llama Apéry constante.

Answer 4

$\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}$Supongamos que $x,y\in\mathbb R$ definimos $$ \Exp(x+iy) = e^x(\cos(y^\circ)+i\sin(y^\circ)). $$

Que tiene el mismo buen propiedades algebraicas como la definición usando radianes; por ejemplo, $\Exp(z+w)=\Exp(z)\Exp(w)$ para $z,w\in\mathbb C$.

Pero carece de la diferenciabilidad. ¿Cuál es su derivada en $0$? Como $x+iy$ aumenta en la dirección real, así como pasar a través de de $0$, entonces $\Exp(x+iy)$ es el cambio de $1$ veces tan rápido como $x+iy$ está cambiando. Como $x+iy$ cambios en el imaginario de la dirección, así como pasar a través de de $0$, entonces $\Exp(x+iy)$ es el cambio de $180/\pi$ veces tan rápido como $x+iy$ está cambiando. Si el valor de la derivada en ese punto será de $1$ o $180/\pi$?

Answer 5

$e^{i \pi} = -1$ es sólo una poética de la elegancia. Sin embargo, el significado fundamental detrás de él es más que poética.

La ecuación que realmente importa no es $e^{i\theta} = cos(\theta) + i sen(\theta) de dólares, de los cuales $e^{i \pi} = -1$ no es nada más que una rápida sustitución.

Me puede definir cualquier número de system I, por favor, me pueden agregar i, j, y k, o hacer cualquier cosa que yo desee. Sin embargo, lo que hace que algunos sistemas de los números de "especial" es que ellos siguen las "reglas de la aritmética." Estos son especiales porque los matemáticos pueden utilizar sin tener que recordar la identidad de todo un conjunto de sistemas de número... que sólo puedo recordar la identidad para la suma y la multiplicación... y se supone que todavía se aplican (con sólo un puñado de casos especiales para memorizar)

Hay un sistema de números complejos, que ganó el gran interés debido a que hizo un montón de ecuaciones más simples. También sucede a seguir un montón de convenios que los matemáticos similares. Por ejemplo, hay una operación que se llama $+$, que le permite asumir $a + b = b + a$, sin tener que recordar que si la operación fue válido en su número particular del sistema.

Por un tiempo, era fácil para mostrar los números complejos definidas dos operaciones que cumplen las mismas reglas como $a + b$ y $ab$ en los números reales. Sin embargo, hay toda una serie de transformaciones matemáticos amor al uso, sino que necesita más poder, particularmente necesitaban un concepto de alimentación de la torre. Torres de energía son la extensión natural del patrón de $ab = a + a + ... a(b x)$ $a^{b} = aaaaaaa(b veces)$. En notación común, $^{b} = a^{^{...}} (b x)$ y $_{b}un = ^{^{^{^...}un}} a(b x)$. Y claramente que el patrón que se puede hacer sin cesar.

Los matemáticos quería encontrar una definición para la exponenciación con números complejos. Euler utiliza una herramienta impecable llamado continuación analítica para traer los logaritmos de números complejos, que, naturalmente, siempre exponenciación. Sin entrar en detalles (estoy difusa en ellos yo mismo), continuación analítica puede mostrar que hay cualquier número de posibles "significados" para una operación, o se puede demostrar que todos ellos convergen, de tal manera que sólo existe realmente un "significado" de una operación, con varias maneras de llegar allí (igual a $ab$ tiene solo un valor, incluso si se calcula con la suma repetida).

Euler no sólo demostró que $e^{i\theta} = cos(\theta) + i sen(\theta)$ proporcionado una definición válida para los complejos logaritmos, mostró que todas las posibles ecuaciones deben converger en la que EL valor, de tal manera que $e^{i\theta} = cos(\theta) + i sen(\theta)$ se puede considerar como la ÚNICA definición de la exponenciación que usted necesita.

Al hacer esto, él que nos permita ampliar la lista de cosas que podemos hacer con los números complejos a partir de la adición y la multiplicación, a la exponenciación, logaritmos, y luego demostró que, si uno seguido para definir cosas como torres de energía, el método que se usó podría generar un significativo operación.

Formulado de otra manera, con ninguna de las matemáticas, pero encerado poética en su lugar, cuando llegó a los números complejos, los matemáticos estaban respirando a través de un pitillo, hasta que Euler les enseñó cómo respirar plenamente.