Divertirse integral de la $\int_0^{\pi/4} \cos x \arctan(\cos x)\, dx$

Question

Jugando con la inversa de la función trigonométrica integración, he encontrado una buena forma cerrada de la siguiente integral

$$\int_0^{\pi/4} \cos x \arctan(\cos x)\, dx=\frac{3\sqrt{2}-1}{4}\pi-\frac{3\sqrt{2}}{2}\arctan\sqrt{2}$$

que numéricamente de acuerdo con la salida de Wolfram Alpha. Me pregunto, ¿cuál es la mejor manera (o la más complicada) para obtener el resultado. Me encantaría ver cómo las Matemáticas SE los usuarios de probarlo. Cualquier método es bienvenido. Gracias. (>‿◠)✌

Answer 1

Integrar por partes $$\int\cos x\arctan(\cos x)dx$$

$$=\arctan(\cos x)\int\cos x\ dx-\int\left(\frac{d[\arctan(\cos x)]}{dx}\int\cos x\ dx\right)dx$$

$$=\arctan(\cos x)\sin x-\int\left(\frac{-\sin x}{1+\cos^2x}\cdot\sin x\right)dx$$

Ahora, $$\int\frac{\sin^2x}{1+\cos^2x}dx=\int\frac{2-(1+\cos^2x)}{1+\cos^2x}dx$$

$$=2\int\frac{dx}{1+\cos^2x}-\int dx$$

$$=2\int\frac{\sec^2x\ dx}{2+\tan^2x}-x$$

Answer 2

Integrar por partes: $$\int cos(x)arctan(cos(x))dx=sin(x)arctan(cos(x))+\int\frac{sin^2(x)}{1+cos^2(x)}dx$$

Reescribir: $$\int cos(x)arctan(cos(x))dx=sin(x)arctan(cos(x))+\int\frac{2}{1+cos^2(x)}dx-x$$

Para obtener esta integral, podemos diferenciar $arctan(\alpha tan(x))$, que se traduce en $\frac{\alpha}{cos^2(x)+(\alpha sin(x))^2}$.

Así, obtenemos: $$\int \frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{cos^2(x)+\frac{1}{2}sin^2(x)}dx=arctan\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}tan(x)\right)$$

Integral indefinida: $$\int cos(x)arctan(cos(x))dx=sin(x)arctan(cos(x))+\sqrt{2}arctan(\frac{1}{2}\sqrt{2}tan(x))-x$$

Conectar los límites se deja como ejercicio para el lector.