Es $\sqrt{z}$ una función de meromorphic?

Question

La literatura parece más bien tímida en este punto.

Mientras que $\sqrt{z}$ no es meromorphic en el plano complejo $\mathbb{C}$, puede ser considerada como globalmente meromorphic en la correspondiente superficie de Riemann (dos ramas copias de $\mathbb{C}$), o (equivalentemente?) localmente meromorphic en $z=0$? Por otra parte, puede que la raíz de la función en $z=0$ ser considerado como un cero de orden $1/2$?

Y por otra parte, es $1/\sqrt{z}$ también meromorphic en la superficie, y puede considerarse como un polo de orden $1/2$?

EDIT: se aclara(?) que me estaba preguntando si la función a nivel mundial meromorphic en $2 \mathbb{C}$.

Answer 1

Dado que la pregunta y el otro contesta hablar de la "superficie de Riemann" en el que $\sqrt{z}$ se convierte en meromorphic, valdría la pena hacer esto más explícito.

Si dejamos $\Sigma$ denotar la superficie de Riemann sobre las que $\sqrt{z}$ se convierte en un solo valor, a continuación, $\Sigma$ es sólo una copia de la esfera de Riemann. Si dejamos $w$ el valor de la coordenada en $\Sigma$, entonces el mapa de $\Sigma$ a la costumbre de la esfera de Riemann (la de coordinar $z$) está dado por $z = w^2$. Así en $\Sigma$ la función de $\sqrt{z}$ sólo se convierte en la función de las coordenadas $w$ (y por lo $1/\sqrt{z}$ hace $1/w$).

Así que no hay nada muy misterioso está sucediendo aquí. Sin invocar algo místico-lenguaje que suena de superficies de Riemann (no es que este idioma no tiene valor, es sólo que a veces puede ser más ofuscación que aclarar), se puede describir la situación de la siguiente manera:

La función de $\sqrt{z}$ no es una función de meromorphic $z$: es ramificado en $0$, y también en $\infty$. Pero si hacemos el substituation $z = w^2$, el resultado de la función $w ( = \sqrt{w^2})$ es meromorphic como una función de la $w$. Eso es todo.

Answer 2

(Upvoting e) la adscripción de @Matt E de la respuesta, en el análisis de textos y otros de la literatura, local holomorphy y global holomorphy muchas veces no son suficientemente distinguida, por lo tanto es comprensible que lleva a confusiones.(Hace años, me tomó un tiempo para entender (a) que mi confusión era razonable, (b) cómo resolverlo.) Localmente, excepto en $0$, hay dos holomorphic raíces cuadradas. A nivel mundial, que se pregunta "en qué conjunto abierto? ... tal vez en lo superficie de Riemann (complejo colector!?!)?"... la primera (y arquetípico) el punto es que, en realidad, no existe la raíz cuadrada de la "z" en el plano complejo/línea. Ok. Pero, de nuevo archetypically/cliché-ly, en cualquier simplemente conectado subconjunto abierto del plano complejo/línea no contiene $0$, no es un (global) de la raíz cuadrada.

Cuando uno se lanza a si mismo en "superficies de Riemann", ya hay algunos de la disonancia cognitiva, razonablemente suficiente. El primer punto es que dada la expresión algebraica de la relación de función/ "$f(z,w)=0$ " define un número finito de grados de cobertura de "la esfera de Riemann". La crítica punto de la cuestión es que esto se puede conseguir el efecto de que una "función" sólo localmente definibles/holomorphic en $\mathbb C$ puede llegar a ser a nivel mundial definibles. De hecho, los problemas cognitivos son amplificadas por la idea/el hecho de que el no-global definida por la función de "define" una superficie de Riemann... (Esto me grietas... o no, dadas las muchas horas que he trabajado para analizar este críptico de la mitología. :)

Finalmente, uno puede descubrir que un "global" de la definición de una "función", por ejemplo, definido por las ecuaciones diferenciales ordinarias o por ecuaciones algebraicas, que tiene "problemas" se trata de ser reconstruido a nivel mundial, como en "cubrir el espacio de la teoría", "admitir" una cubierta de la costumbre plano complejo en el que el "multi-valor-ness" pseudo-problemas desaparecen...

En resumen: las tradicionales descripciones de las situaciones son bastante extravagantes, en mi opinión!!!!! Pero, de hecho, sobre todo desde nuestro punto de vista actual, no es tan loco.