Suma de los inversos de dos secuencias divergentes

Question

Deje $a_n, b_n$ ser dos secuencias para que $0<a_n<b_n<a_{n+1}$. Deje $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$

Necesito demostrar que $\sum{\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}}$ es convergente.

Ha sido un largo tiempo desde que hice algunos análisis real, así que probablemente olvidó alguna cosa básica para probar esto, porque no creo que va a ser muy duro.

PS: el inglés no es mi idioma principal, que me perdonen algunos errores.

Answer 1

Podemos ver claramente que los ${1\over a_n} - {1\over b_n} < {1\over b_{n-1}}- {1\over b_n}$

$ {1\over b_{n-1}}- {1\over b_n} $ es un telescópica secuencia y desde $\lim_{n\to \infty} {1\over b_n} = 0$ $\sum {1\over b_{n-1}}- {1\over b_n} $ converge.

Por comparaison de dos positivos de la serie, $ \sum{1\over a_n}- {1\over b_n} $ converge demasiado.

Answer 2

Deje $c_n$ ser la secuencia $c_1=\frac{1}{a_1}$, $c_2=\frac{1}{b_1}$,$c_3=\frac{1}{a_2}$, $c_4=\frac{1}{b_2}$, etc.

Sus términos son positivos, la sucesión es monótona decreciente, y la secuencia converge a $0$. Aplicando el criterio de Leibniz, se llega a la ligeramente más fuerte conclusión de que la serie

$$S=\sum(-1)^{n+1}c_n$$

converge. Esto implica la convergencia de la serie en particular (las sumas parciales de la serie son un subsequence de las sumas parciales de $S$).

Answer 3

Deje $c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}$. A continuación, $c_n>0$ todos los $n$, por lo tanto $$ 0<\sum_{n=k}^mc_n<\sum_{n=k}^m\Big(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\Big)=\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{m+1}} $$ utilizando el hecho de que la segunda suma de los telescopios.

Ahora desde $a_n\to\infty$, para cualquier $\varepsilon>0$ podemos optar $N$ suficientemente grande como para que $a_n>\frac{1}{\varepsilon}$ todos los $n\geq N$. Por lo tanto, $0<\sum_{n=k}^mc_n<2\varepsilon$ todos los $m>k\geq N$, lo $\sum_nc_n$ converge por el criterio de Cauchy.