Deje $\mu$ ser una medida de Radón en $\mathbb{R}^n$ tal que $\mu(B(0, s)) > 0$ todos los $s > 0$ y supongamos que
$$C = \limsup_{s\ \downarrow\ 0}\frac{\mu(B(0, 2s))}{\mu(B(0, s))} < \infty.$$
Para todos los $r > 0$, vamos a $\mu_r$ ser la medida de Radón en $\mathbb{R}^n$ definido por la regla
$$\mu_r(E) = \frac{\mu(rE)}{\mu(B(0, r))}\ \text{for all}\ E \subset \mathbb{R}^n.$$
Demostrar que no existe $r_i\ \downarrow\ 0$ y una medida de Radón $\mu_0$ $\mathbb{R}^n$ tal que $\mu_{r_i} \rightharpoonup \mu_0$.
La verdad es que tengo muy poca idea de cómo abordar este problema. Yo estaba esperando para hacer uso de la constante de $C$ haciendo algunas manipulaciones tales como
$$\mu_r(E) = \frac{\mu(rE)}{\mu(B(0, r))} = \frac{\mu(rE)}{\mu(B(0, 2r))}\frac{\mu(B(0, 2r))}{\mu(B(0, r))}$$
pero no hubo suerte. Cualquier sugerencias o recomendaciones para el Radón medida de referencias, sería muy apreciado.
