¿Por qué no se $16$ $32$ Hadamard circulantes matrices?

Question

Dos filas de una matriz a son ortogonales si su producto interior es igual a cero. Llamar a una matriz con todas las filas pares ortogonal una matriz ortogonal. Un circulantes de la matriz es uno donde cada vector fila se gira un elemento a la derecha con relación a la anterior vector fila. Vamos a considerar sólo las matrices cuyas entradas son o $-1$ o $1$.

Para el número de columnas $n= 4,8,12,16,20,24,28, 36$ existe $n/2$ $n$ ortogonal de matrices circulantes.

¿Por qué no hay circulantes matrices con $16$ filas y $32$ columnas que son ortogonales?

O para decirlo de otra forma, es posible demostrar que no existen sin la enumeración de todos ellos?

Ejemplo 6 por 12 matriz de

\begin{pmatrix} -1 &\phantom{-}1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 &\phantom{-}1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 &\phantom{-}1 & -1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 & -1 &\phantom{-}1\\ \phantom{-}1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 &\phantom{-}1 & -1 & -1 &\phantom{-}1 & -1\\\end{pmatrix}

Answer 1

Estas matrices son conocidos como circulantes parcial de matrices de Hadamard y una buena referencia para que estos, junto con los últimos resultados, es $\textit{Circulant partial Hadamard matrices}$ por Craigen, Faucher, Baja, y las Mercancías, Lin. Alg. Appl. 439.

Denotar por $r\mbox{-}H(k\times n)$ $k\times n$ circulantes Hadamard matriz en la que una fila (y por lo tanto todos) tiene suma $r$. Los autores compilar una tabla de los valores máximos de $k$ $n\le 64$ y todos los valores de $r$. Se puede ver que el $16\times 32$ matriz no existe junto con el $22\times 44$ matriz.

Uno de los primeros resultados en el documento es que si $r\mbox{-}H(k\times n)$ existe $n$ es divisible por 4. Esta es la razón por la que su columna de números son múltiplos de 4. Otra consecuencia es que si Ryser la conjetura es verdadera, a continuación,$k\le \frac{n}{2}$. Los autores muestran también que existe evidencia empírica de que el valor máximo de $k=\frac{n}{2}$ es alcanzado casi siempre para $r=2$. Una conjetura de Delsarte, Goethals, y Seidel es que un $2\mbox{-}H(k\times 2k)$ existe si y sólo si $k-1$ es una extraña energía primaria. Estos dos resultados combinados explicaría por qué la $16\times 32$ $22\times 44$ de los casos no existen. También indica que el próximo inexistente caso podría ser $34\times 68$.