Número racional al poder del número irracional = número irracional. ¿Cierto?

Question

Me propuso el siguiente problema a mi amigo: demostrar que no existen números irracionales $a$ y $b$ tal que $a^b$ es racional. El problema parece haber sido discutido en esta pregunta.

Ahora, su inicial solución era como este: vamos a tomar un número racional $r$ y un número irracional $i$. Supongamos

$$a = r^i$$ $$b = \frac{1}{i}$$

Así tenemos

$$a^b = (r^i)^\frac{1}{i} = r$$

que es racional por suposición inicial. $b$ es, obviamente, irracional si $i$ es. Mi amigo dice que también es obvio que si $r$ es racional y $i$ es irracional, entonces $r^i$ es irracional. Rápidamente me objetó diciendo que $r = 1$ es fácil contraejemplo. A lo que mi amigo dijo, OK, para cualquier número racional positivo de $r$, excepto el 1 y para cualquier número irracional $i$ $i^i$ es irracional. ¿Es esto cierto? Si es así, es fácilmente demostrado? Si no, alguien puede venir para arriba con un contraejemplo?

Atengámonos a los números reales (es decir, vamos a olvidarnos de los números complejos, por ahora).

Answer 1

Consider $2^{\log_2 3}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 2

Un complemento a la respuesta de Chris arriba:

Que $r$ sea un número racional positivo y $i$ un número irracional positivo. Si $r ^ {i} $ es racional, entonces $r ^ i = \frac {a} {b} $ $ a, b\in \mathbb{Z}$ tal que $b\neq 0$. En particular, $i=\log_{r}\left(\frac{a}{b}\right)$. Por lo tanto, la respuesta de Chris Eagle es, de hecho, prototípica. (Tenga en cuenta también, que si $r = 1$, entonces haz una contradicción como observa.)