Encontrar $a,b,c$ tales que la ecuación de $ax^2+a=by^2+b=cz^2+c$ tiene una infinidad de soluciones entero

Question

¿Existen $3$ enteros positivos $a,b,c~(a<b<c),$ tales que la ecuación $$ax^2+a=by^2+b=cz^2+c$$ tiene infinitamente muchos entero de soluciones de $x,y,z$ ?

Answer 1

Esto requeriría $$ ax^2-cz^2=c-a\\ (ax)^2-(ac)z^2=a(c-a) $$ y de la misma manera $$ (por)^2-(ac)z^2=b(c-b) $$

Según Bennett "En el número de soluciones simultáneo de ecuaciones de Pell" esto sólo puede tener un número finito de soluciones, a menos que $$ acb(c-b) = bca(c-a) $$ es decir, a menos $b=a$, así que la respuesta a tu pregunta es negativa.