Estoy tratando de entender el concepto de una transformación natural considerando el siguiente ejemplo, un ejercicio de Mac Lane Categorías para el trabajo matemático (p. 18, ex. 1):
Deje $S$ ser un conjunto fijo y denotan por $X^S$ el conjunto de todas las funciones de $S\to X$. Mostrar que $X\mapsto X^S$ es la función de objeto de un functor $\textbf{Set}\to \textbf{Set}$, y que la evaluación $e_X:X^S\times S\dot{\to} X$, definido por $e(h,s)=h(s)$, el valor de la función $h$$s\in S$, es una transformación natural.
Estoy teniendo problemas con ambas partes de la pregunta. Primero de todo, no estoy seguro de cómo mostrar que $X\mapsto X^S$ es la función de objeto. Necesito comprobar los dos axiomas de un functor, la propiedad de identidad es fácil, ya que para cualquier functor $T:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ y un conjunto $A$ podemos definir $T(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{A^S}$. Yo también necesita mostrar que para cualquier composición de morfismos $g\circ f$ hemos $$ T(g\circ f)=Tg\circ Tf $$ Dada una función de $f:A\to B$, cómo definir una función $Tf:A^S\to B^S$? Supongamos que $h:S\to A$ es un elemento de $A^S$, puedo definir la imagen de $h$ bajo $Tf$ a ser la función de $g=f\circ h$? Qué $T$ luego de satisfacer la composición axioma?
Otro problema es que una transformación natural se define por dos functors, mientras que aquí sólo soy una determinada. ¿Cuál es el segundo functor?
