Es AR(1) un proceso de Markov?

Question

Es AR(1) el proceso como $y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$ un proceso de Markov?

Si es así, entonces VAR(1) es el vector de la versión de proceso de Markov?

Answer 1

El siguiente resultado se tiene: Si $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$ son independientes de la toma valores en $E$ $f_1, f_2, \ldots $ funciones $f_n: F \times E \to F$ $X_n$ define recursivamente como

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n), \quad X_0 = x_0 \in F$$

el proceso de $(X_n)_{n \geq 0}$ $F$ es un proceso de Markov de partida en $x_0$. El proceso es homogéneo si la $\epsilon$'s son idénticamente distribuidas y todas las $f$-funciones son idénticas.

El AR(1) y VAR(1) son procesos que se dan en esta forma con

$$f_n(x, \epsilon) = \rho x + \epsilon.$$

Así son homogéneos procesos de Markov si el $\epsilon$'s son i.yo.d.

Técnicamente, los espacios de $E$ $F$ necesita un medibles estructura y el $f$-funciones deben ser medibles. Es muy interesante que una de conversar resultado se mantiene si el espacio de $F$ es un espacio de Borel. Para cualquier proceso de Markov $(X_n)_{n \geq 0}$ en un espacio de Borel $F$ no se yo.yo.d. uniforme de variables aleatorias $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$ $[0,1]$ y las funciones de $f_n : F \times [0, 1] \to F$, de modo que con probabilidad uno $$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n).$$ Ver la Proposición 8.6 en Kallenberg, Bases de la Moderna de la Probabilidad.

Answer 2

Un proceso de $X_{t}$ es un AR(1) el proceso si

$$X_{t} = c + \varphi X_{t-1} + \varepsilon_{t} $$

donde los errores, $\varepsilon_{t}$ son iid. Un proceso tiene la propiedad de Markov si

$$P(X_{t} = x_t | {\rm entire \ history \ of \ the \ process }) = P(X_{t}=x_t| X_{t-1}=x_{t-1})$$

A partir de la primera ecuación, la distribución de probabilidad de $X_{t}$ claramente sólo depende de $X_{t-1}$, así que, sí, un AR(1) el proceso es un proceso de Markov.

Answer 3

¿Qué es un proceso de Markov? (vagamente speeking) Un proceso estocástico es un primer proceso de Markov de orden si la condición

$$P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( 0 \right )= x\left ( 0 \right ),...,X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]=P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]$$

sostiene. Desde el siguiente valor (es decir, la distribución de lado el valor de $AR(1)$ proceso sólo depende de la corriente de valor del proceso y no depende de que el resto de la historia, es un proceso de Markov. Cuando observamos el estado de autorregresivos proceso, el pasado de la historia (u observaciones) no proporciona ninguna información adicional. Así, esto implica que la distribución de probabilidad de la próxima valor no se ve afectado (es independiente) por la información sobre el pasado.

Lo mismo ocurre con el VAR(1) ser de primer orden multivariante proceso de Markov.