Estoy estudiando el teorema 9 del capítulo 7 del Cálculo de Spivak. Hay una declaración que no puedo entender.
El teorema dice: Si $n$ es impar, entonces cualquier ecuación $$ \ x^n+a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+a^0 $$ tiene una raíz.
prueba: queremos demostrar que $f$ es a veces positiva y a veces negativa. La idea intuitiva de idea intuitiva es que para grandes $|x|$ la función es muy parecida a $g(x) = x^n$ y, ya que $n$ es impar, esta función es positiva para grandes positivos $x$ y negativo para negativo $x$ . Un poco de álgebra es todo lo que necesitamos para que esta idea intuitiva funcione.
$$ f(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+a^0 = x^n \left(1+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_0}{x^n}\right) $$
Tenga en cuenta que $$ \left|\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^2}+\cdots+\frac{a_0}{x^n} \right|\le \frac{|a_{n-1}|}{|x|}+\frac{|a_{n-2}|}{|x^2|}+\cdots+\frac{|a_{0}|}{|x^n|} $$
Por consiguiente, si elegimos $x$ satisfaciendo $$ |x|>1,2n|a_{n-1}|,\ldots,2n|a_0| \tag{*} $$
No estoy seguro de cómo llega a $(*)$
Gracias de antemano
