Un ejemplo sencillo de un conjunto incontable que no es $\mathbb{R}$

Question

Supongamos que sólo he definido $\mathbb{N}$ y luego defino los términos conjunto finito e infinito, y también conjunto contable e incontable.

Se me ocurren algunos ejemplos de conjuntos finitos, infinitos y contables, pero ¿qué pasa con los conjuntos incontables? Creo que el ejemplo más sencillo es $\mathbb{R}$ . Pero como aún no lo tengo definido no puedo utilizarlo.

¿Cuál puede ser un ejemplo bueno y sencillo en este caso? Por sencillo me refiero a que sea fácil de verificar sin saber nada de ordinales, cardinales o $\mathbb{R}$ .

Answer 1

El conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb N$ , también llamado conjunto de potencias de $\mathbb N$ . Se denota por $P(\mathbb N)$ y tiene una cardinalidad de $\beth_1=2^{\aleph_0}$ que es incontablemente infinito.

Answer 2

El conjunto de funciones de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ , a menudo denotado como $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ es incontable. Esto se deduce del uso de un argumento de diagonalización de Cantor adaptado (o mediante el uso de la aritmética cardinal, pero se quiere evitar eso).

Answer 3

El conjunto de subconjuntos de $\mathbf Q$ que no tienen ningún elemento mayor es incontable.

Answer 4

El conjunto de todas las particiones de $\Bbb N$ . De hecho, el conjunto de todas las particiones de $\Bbb N$ en dos partes ya es suficiente.

Answer 5

Una técnica de prueba común para demostrar que un conjunto es incontable es el argumento diagonal de Cantor. Puedes aplicarlo al ejemplo que dio T. Bongers con secuencias infinitas de 0 y 1.

Además, el conjunto de potencias de cualquier conjunto es de mayor cardinalidad que el conjunto. Hay un buen argumento en Wikipedia .