El coseno de alimentación de la serie puede ser ampliado mediante
$$\left(\sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!}a^{2\ell}\right)^m=\sum_{\lambda_1,\cdots,\lambda_m=0}^\infty \frac{(-1)^{\lambda_1+\cdots+\lambda_m}}{(2\lambda_1)!\cdots(2\lambda_m)!}a^{2\lambda_1+\cdots+2\lambda_m}$$
$$=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\sum_{|\lambda|=n}\binom{2n}{2\lambda_1,\cdots,2\lambda_m}\right)a^{2n}.$$
Nota se suma sobre todos no negativos $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$, que se suma a $n$ en el interior de la suma, y la reescritura de la negativa de una potencia el uso de este, así como multiplicar y dividir por $(2n)!$ por lo que podemos utilizar un multinomial (porque me siento como el uso que haría que las cosas se ven bien, supongo). En última instancia, esto se reduce a la recolección de todos los términos que están en frente de una $a^{2n}$ de la potencia en una sola suma. Esto puede o no puede estar en una forma útil para usted, no sé.
Tenga en cuenta que podemos evaluar el interior de la suma usando el multinomial y teorema de simetría:
$$\sum_{|\lambda|=n}\binom{2n}{2\lambda_1,\cdots,2\lambda_m}=\frac{1}{2^m}\sum_{x_i=\pm1} (x_1+\cdots+x_m)^{2n}$$
Aquí la suma es $x_i$'s de ser más o menos uno, de forma independiente. Podemos recoger todos los términos con $v$ negativo y reescribir esto como
$$\frac{1}{2^m}\sum_{v=0}^m \binom{m}{v}(m-2v)^{2n}. $$
Multiplica esto por $(-1)^n/(2n)!$ y tiene el coeficiente de $a^{2n}$$\cos^ma$. 8-)
