¿Hay una idea geométrica de Sylow ' teoremas de s?

Question

Tengo una confesión que hacer: ninguna de las pruebas de Sylow de teoremas vi hace clic con mí. Mi primer álgebra abstracta cursos estaban más en la algebraicas lado (sin mención de acciones del grupo y geométricas motivación para los grupos, excepto a toda prisa mencionado diedro grupos), así que cuando me (en el auto-estudio), se descubrió la interacción entre la geometría y la teoría de grupos, me ha encantado. Muchos de los conceptos y de ideas, de repente, tenía más sentido para mí.

Veo Sylow de teoremas como una útil técnica de la caja negra, que puede ayudar a caracterizar a los grupos, cuando sólo se conocen datos numéricos acerca de ellos. He resuelto bastantes problemas utilizando los teoremas, y ahora me interesa si hay una manera de hacer "clic".

Estoy interesado hay un geométricas idea detrás de Sylow de teoremas (al menos uno de ellos), o al menos un buen intuitiva explicación de por qué ese resultado debe mantener. ¿Cómo usted piensa acerca de ellos?

Answer 1

No estoy seguro de si eso responde a tu pregunta. Hay una declaración similar (El teorema de Cartan) en compacto Mentira grupos, que dice que cada toro maximal $T$ en un compacto de Lie del grupo $G$ se conjugado a cada uno de los otros.

Un máximo de toro en una Mentira grupo G es la conexión de un máximo de abelian subgrupo. por ejemplo, si $G = U(n)$ es el grupo de matrices unitarias en $\mathbb C^n$, entonces $T$ es el conjunto de la diagonal de las matrices en $U(n)$.

Teorema de Cartan corresponde al teorema de Sylow (cada $p$-subgrupo de un grupo finito de $G$ se conjugado de la otra). Recordar que para demostrar el teorema de Sylow, uno utilice el mapa de $G/H \to G/H$ definida por la izquierda de la multiplicación y argumentan que un punto fijo existir (contando). Uno puede utilizar exactamente el mismo argumento para probar el teorema de Cartan, pero esta vez uno de los usos Lefschetz punto fijo fórmula para argumentar que el mapa de $G/T \to G/T$ tiene un punto fijo.

Dicha prueba se puede encontrar en Danial Protuberancia del GTM libro en la Mentira de los grupos.