Cómo probar o refutar esa afirmación: existe una matriz cuadrada de tamaño de 11 de tener todas las entradas ±1 y su determinante mayor de 4000?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Esta es una 12×12 matriz de Hadamard (de Neil Sloane de la página).
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Sus filas están ortogonal de a pares, y tienen el cuadrado de la longitud de la 12, por lo que el factor determinante de todo el asunto es 126. ¿Cuál es el máximo de la determinante de una 11×11 menor de edad?
Bien, HHT=12I12, por lo que los menores de edad, todos tienen valor absoluto 125=248832>4000 (creo cofactores en H−1=HT/12).
Permite caminar hacia atrás. Escoja cualquier matriz con el extra A=(11111111111−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−1∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗)
La adición de la primera fila a los demás, y conseguir dos de las otras filas obtenemos
det
donde todos los * 0 o 1. Tenga en cuenta que a partir de este último 0,1 matriz puede dar marcha atrás a su reducción de la fila y obtener un -1,1 matriz.
Por lo tanto el problema se reduce a la siguiente:
Encontrar un 10\times 10 matriz con todas las entradas 0,1, de modo que el factor determinante es, al menos,4, que es fácil de resolver. Una manera fácil de producir este tipo de matriz es la siguiente:
B=\begin{pmatrix} 0&1&1&1&1 \\ 1&0&1&1&1 \\ 1&1&0&1&1 \\ 1&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&0 \\ \end{pmatrix}
A continuación, B es invertible, y el determinante es un múltiplo de a 4 [sólo añadir todas las filas de la primera.]
Construir ahora el 0,1 matriz
\begin{pmatrix} B&0 \\ 0&I_5 \\ \end{pmatrix}
Retroceso de regreso a un 1 \begin{pmatrix} B&0 \\ 0&I_5 \\ \end {pmatrix} stays a 1, any 0 becomes -1 and you add the first row and column of $$.
He encontrado dicha matriz, habiendo realizado un par de veces el código de Arce interface(rtablesize = 15):with(LinearAlgebra):with(Statistics): P := Array([-1, 1]):X := RandomVariable(EmpiricalDistribution(P)): M := convert(Matrix(11, 11, convert(Sample(X, 121), list)),rational); Determinant(M); which outputed \a la izquierda[ \begin {array}{ccccccccccc} - 1&- 1& 1&- 1& 1&- 1& 1& 1& 1& 1& 1\\- 1& 1&- 1&- 1&- 1& 1&- 1& 1& 1& 1& 1\\ - 1& 1& 1& 1&- 1& 1& 1& 1&- 1&- 1&- 1\\ 1& 1& 1&- 1& 1& 1& 1&- 1&- 1& 1& 1 \\ 1&- 1&- 1& 1& 1&- 1&- 1&- 1& 1 & 1& 1\\ 1&- 1& 1& 1&- 1&- 1&- 1& - 1& 1& 1& 1\\ 1-& 1& 1&- 1&- 1&- 1&- 1& 1&- 1& 1& 1\\ 1&- 1& 1& 1& 1&- 1& 1&- 1&- 1& 1&- 1\\ - 1& - 1& 1&- 1&- 1& 1&- 1& 1& 1& 1&- 1 \\ 1&- 1& 1&- 1& 1&- 1& 1& 1&- 1& - 1&- 1\\ 1& 1&- 1& 1& 1&- 1&- 1& - 1& 1&- 1&- 1\end {array} \right] and 4096.