Hace de la matriz de existir?

Question

Cómo probar o refutar esa afirmación: existe una matriz cuadrada de tamaño de 11 de tener todas las entradas $ \pm 1$ y su determinante mayor de 4000?

Answer 1

Esta es una $12\times12$ matriz de Hadamard (de Neil Sloane de la página).

+-----------
++-+---+++-+
+++-+---+++-
+-++-+---+++
++-++-+---++
+++-++-+---+
++++-++-+---
+-+++-++-+--
+--+++-++-+-
+---+++-++-+
++---+++-++-
+-+---+++-++

Sus filas están ortogonal de a pares, y tienen el cuadrado de la longitud de la $12$, por lo que el factor determinante de todo el asunto es $12^6$. ¿Cuál es el máximo de la determinante de una $11\times11$ menor de edad?

Bien, $HH^T=12I_{12}$, por lo que los menores de edad, todos tienen valor absoluto $12^5=248832>4000$ (creo cofactores en $H^{-1}=H^T/12$).

Answer 2

Permite caminar hacia atrás. Escoja cualquier matriz con el extra $$A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ -1&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ \end{pmatrix}$$

La adición de la primera fila a los demás, y conseguir dos de las otras filas obtenemos

$$\det(A)=2^{10} \det\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ 0&*&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ \end{pmatrix}=\\2^{10} \det\begin{pmatrix} *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&*&* \\ \end{pmatrix}$$

donde todos los $*$ $0$ o $1$. Tenga en cuenta que a partir de este último $0,1$ matriz puede dar marcha atrás a su reducción de la fila y obtener un $-1,1$ matriz.

Por lo tanto el problema se reduce a la siguiente:

Encontrar un $10\times 10$ matriz con todas las entradas $0,1$, de modo que el factor determinante es, al menos,$4$, que es fácil de resolver. Una manera fácil de producir este tipo de matriz es la siguiente:

$$B=\begin{pmatrix} 0&1&1&1&1 \\ 1&0&1&1&1 \\ 1&1&0&1&1 \\ 1&1&1&0&1 \\ 1&1&1&1&0 \\ \end{pmatrix}$$

A continuación, $B$ es invertible, y el determinante es un múltiplo de a $4$ [sólo añadir todas las filas de la primera.]

Construir ahora el $0,1$ matriz

$$\begin{pmatrix} B&0 \\ 0&I_5 \\ \end{pmatrix}$$

Retroceso de regreso a un $1$ $\begin{pmatrix} B&0 \\ 0&I_5 \\ \end {pmatrix}$ stays a $1$, any $0$ becomes $-1$ and you add the first row and column of $$.

Answer 3

He encontrado dicha matriz, habiendo realizado un par de veces el código de Arce $$interface(rtablesize = 15):with(LinearAlgebra):with(Statistics): $$ $$P := Array([-1, 1]):X := RandomVariable(EmpiricalDistribution(P)): $$ $$M := convert(Matrix(11, 11, convert(Sample(X, 121), list)),rational); Determinant(M);$$ which outputed $$ \a la izquierda[ \begin {array}{ccccccccccc} - 1&- 1& 1&- 1& 1&- 1& 1& 1& 1& 1& 1\\- 1& 1&- 1&- 1&- 1& 1&- 1& 1& 1& 1& 1\\ - 1& 1& 1& 1&- 1& 1& 1& 1&- 1&- 1&- 1\\ 1& 1& 1&- 1& 1& 1& 1&- 1&- 1& 1& 1 \\ 1&- 1&- 1& 1& 1&- 1&- 1&- 1& 1 & 1& 1\\ 1&- 1& 1& 1&- 1&- 1&- 1& - 1& 1& 1& 1\\ 1-& 1& 1&- 1&- 1&- 1&- 1& 1&- 1& 1& 1\\ 1&- 1& 1& 1& 1&- 1& 1&- 1&- 1& 1&- 1\\ - 1& - 1& 1&- 1&- 1& 1&- 1& 1& 1& 1&- 1 \\ 1&- 1& 1&- 1& 1&- 1& 1& 1&- 1& - 1&- 1\\ 1& 1&- 1& 1& 1&- 1&- 1& - 1& 1&- 1&- 1\end {array} \right] $$ and $4096. $