Dos $L^p$ problemas de espacio

Question

Tengo dos problemas aquí.

1) necesito mostrar $\|xf(x)\|_2 \le \|f(x)\|_3$$f \in L^3[0,1]$.

Mi enfoque: sé $\|f(x)\|_2 \le \|f(x)\|_3$, y la esperanza de mostrar $\|xf(x)\|_2 \le \|f(x)\|_2$. Es cierto, porque $x \in [0,1]$, $xf(x) \le f(x)$. Estoy en lo cierto?

2) Si $f \in L^{5}(E)$, $E=[0,1]$ y $\int_{E} f(x)dx=0$,$\int_{E} |1-f|^5 dx \ge 1$.

Creo que la clave es definir $g=1-f$ y el uso de $\|g\|_p \ge \|g\|_2$$p \ge 2$. Por favor, dame alguna confirmación o me diga mal.

Answer 1

Para (1), podemos aplicar Hölder de la desigualdad: $$\|xf\|_{L^2[0,1]}=\sqrt{\int_{[0,1]}x^2f^2}\leq\sqrt{\Big(\int_{[0,1]}x^{2\cdot3}\Big)^{\frac{1}{3}}\Big(\int_{[0,1]}f^{2\cdot\frac{3}{2}}\Big)^{\frac{2}{3}}}=\Big(\int_{[0,1]}x^{6}\Big)^{\frac{1}{6}}\|f\|_{L^3[0,1]}.$$ Ahora (1) seguir a partir de $$\int_{[0,1]}x^{6}=\frac{x^7}{7}\Big|_0^1=\frac{1}{7}\leq 1.$$

Para (2), ya $\displaystyle\int_{[0,1]}f=0$ por supuesto, tenemos $$1=\int_{[0,1]}1=\int_{[0,1]}(1-f).$$ Ahora aplique el Hölder de la desigualdad a la derecha, obtenemos $$1=\int_{[0,1]}(1-f)\leq \Big(\int_{[0,1]}|1-f|^5\Big)^{\frac{1}{5}}\Big(\int_{[0,1]}1\Big)^{\frac{4}{5}}=\Big(\int_{[0,1]}|1-f|^5\Big)^{\frac{1}{5}},$$ lo que implica que $$1\leq \int_{[0,1]}|1-f|^5,$$ como se requiere.