Me gustaría que se derivan de la uno-dimensional de las ecuaciones de aguas poco profundas de Eulers las ecuaciones. Esto funciona perfectamente para la conservación de la de la masa. Especialmente en el sentido longitudinal de la velocidad del fluido $\bar u$ en el agua poco profunda ecuaciones se vuelve claro. Puede ser interpretada como el promedio de la longitudinal de la velocidad de Euler ecuaciones más de la altura sobre el nivel del suelo.
Pero, en Euler equilibrio de impulso de la longitudinal de la velocidad se produce el cuadrado y el promedio del cuadrado de la velocidad no es necesariamente igual al cuadrado de la velocidad promedio. Estoy atascado en este punto.
Luego, se sigue lo que tengo hasta ahora.
Supuestos:
- la propagación en la dirección de la $x$-eje (vector unitario $\vec{e}_x$)
- $y$-eje apunta hacia arriba (vector unitario $\vec{e}_y$)
- todo lo que es constante en $z$-la dirección (vector unitario $\vec{e}_z$; esta dirección es en su mayoría a la izquierda). El volumen de las integrales de convertirse en zona de las integrales de superficie y las integrales convierten en integrales de línea. Si la ruta se ejecuta con el positivo de la circulación de la superficie externa de lo normal puede ser calculado a través de $d\vec{r}\times\vec{e}_z$.
- incompresible medio; La densidad de $\rho(x,y,t)$ es constante.
- El suelo en $y=0$ plano. La altura del agua es $h(x,t)$. Región de agua: $0\leq y \leq h(x,t)$, en la región de aire: $h(x,t) < y$.
- La estática de la presión relativa (w.r.t. la presión atmosférica) es $p(x,y,t)=g\rho(h(x,y,t)-y)$ donde $g$ es la constante de gravitación.
- No hay fricción.
Describimos el movimiento de los fluidos a través de la altura por encima del suelo $h(x,t)$ y la velocidad presentó $\vec{v}(x,y,t)$ en el líquido de la región.
En primer lugar el "trabajo" de Euler del balance de masa. Un movimiento fluido satisface Euler del balance de masa si para todas las partes $A$ del líquido área de la sección transversal en la $(x,y)$-avión no tiene la ecuación $$ \partial_t\int_{Un} \rho dA + \int_{\parcial} \rho\, \vec{v}(x,y,t)\cdot d\vec{r}\times\vec{e}_z = 0. $$ Euler del balance de masa que lleva a que el balance de masa de las aguas poco profundas ecuaciones si se restringe la elección de las zonas a las rayas $A:=\{(x,y)\in[x_1,x_2]\times\mathbb{R}\mid 0\leq y \leq h(x,t)\}$ $x_1 < x_2$.
En la parte inferior $y=0$ la velocidad de $v(x,0,t)$ es paralelo a la ruta elemento $d\vec{r}$, la semilla del producto en la ruta integral $\partial A$ es cero y por lo tanto la contribución de este sector de la $\partial A$ a la ruta integral de Euler del balance de masa es cero.
Debido a la altura cambiando con el tiempo, de hecho, hay una normal componente de la velocidad en la parte superior. Pero, esto ya es considerada en el tiempo-dependiente del área de en el área de la integral.
Es más fácil pensar en la masa fluida entre la mitad de los aviones $A_x:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid y\geq 0\}$ (nota de la fija $x$) $x=x_1$ y $x=x_2$. El crecimiento de este líquido a la masa junto con el flujo de salida de la masa fluida a través de los planos $A_{x_1}$, $A_{x_2}$ debe saldo de cero. Este directamente conduce directamente a la fórmula $$ \partial_t \int_{x_1}^{x_2}h(x,t)dx + \left[\int_{0}^{h(x,t)}u(x,y,t)dy\right]_{x=x_1}^{x_2} = 0 $$ donde $u(x,y,t)=\vec{e}_x\cdot \vec{v}(x,y,t)$ $x$- componente de la velocidad del fluido $\vec{v}$. Así, ya hemos dividido a través de la constante de la densidad de $\rho$. Con el promedio longitudinal de la velocidad $$ \bar u(x,t):=\frac1{h(x,t)}\int_0^{h(x,t)}u(x,y,t)dy $$ la última fórmula se obtiene después de la diferenciación w.r.t. $x_2$ y el cambio de nombre $x_2\mapsto x$ el balance de masa de las aguas poco profundas de las ecuaciones:
$$ \partial_t h(x,t) + \partial_x \bigl(h(x,t) \bar u(x,t)\bigr) =0 $$
Ahora, el caso más difícil de el impulso equilibrio. El impulso el equilibrio de las ecuaciones de Euler se satisface si para todas las partes $A$ de el líquido de área de la sección transversal en la $(x,y)$-plano de la ecuación $$ \partial_t \int_{Un} \rho \vec{v} d + \int_{\parcial} \rho \vec{v} \vec{v}\cdot d \vec{r}\times \vec{e}_z = \int_{\partial} p d \vec{r}\times \vec{e}_z = \int_{\partial} g\rho \left(h(x,t)-y\right) d \vec{r}\times \vec{e}_z $$ está satisfecho.
Nos deshacemos de la densidad constante y sólo considerar el $x$-de los componentes de esta fórmula multiplicando con $\frac1{\rho}\vec{e}_x$ y restringir el área de las secciones de $A=\{(x,y)\in[x_1,x_2]\times\mathbb{R}\mid 0\leq y\leq h(x,t)\}$$x_1<x_2$. Para la simplificación de nuevo hemos de integrar más de la mitad de los aviones de $A_{x_1}$ $A_{x_2}$ $$ \partial_t\int_{x_1}^{x_2} \int_0^{h(x,t)} u(x,y,t) d y\, d x + \left[ \int_{y=0}^{h(x,t)} u^2(x,y,t)d y \right]_{x=x_1}^{x_2}= \left[ \frac12 gh(x,t)^2 \right]_{x=x_1}^{x_2} $$ Sustituyendo $\int_0^h u dy=h\cdot \bar u$ rendimientos $$ \partial_t \int_{x_1}^{x_2} h(x,t)\bar u(x,t) d x + \left[ \int_{y=0}^{h(x,t)} u^2(x,y,t)d y \right]_{x=x_1}^{x_2}= \left[ \frac12 gh(x,t)^2 \right]_{x=x_1}^{x_2}. $$ Aquí, estoy atascado. La sustitución de $\int_0^h u^2 dy = h {\bar u}^2$ es posible si $u(x,y,t)$ es independiente de la altura de la $y$.
Si este es realmente el caso, ¿cuál es el razonamiento para esta suposición? ¿Cómo llegamos a conocer la distribución vertical de $u$?
Si esta hipótesis es verdadera, entonces llegamos al impulso de equilibrio para las ecuaciones de aguas poco profundas a través de la diferenciación w.r.t. $x_2$ y cambiar el nombre de $x_2\mapsto x$: $$ \partial_t\bigl(h\bar u\bigr)(x,t) + \partial_x \left(\left((h\bar u)(x,t)\right)^2 - \frac 12 g de h(x,t)^2\right)=0 $$
Hay una similar derivación en http://www.whoi.edu/fileserver.do?id=136564&pt=10&p=85713. Pero, no es sólo supone que $u$ no depende de $y$.
