Estoy seguro de que esta es una pregunta tonta. Supongamos $\lambda$ es un singular cardenal de innumerables cofinality. Entonces, ciertamente, $\diamondsuit_\lambda$ debe fallar. Pero, ¿por qué?
Sólo en caso de que, permítanme precisar que por $\diamondsuit_\lambda$ me refiero a que hay una secuencia de conjuntos de $A_\alpha\subseteq \alpha$ $\alpha<\lambda$ tal que para cualquier $A\subseteq\lambda$ el conjunto $\{\alpha<\lambda;A\cap\alpha=A_\alpha\}$ es estacionaria en $\lambda$.
Yo recuerdo vagamente a pensar acerca de esto hace algún tiempo y convencer a mí mismo que $\diamondsuit_\lambda$ debe violar König del teorema. Pero no puedo reconstruir el argumento. Ciertamente, $\diamondsuit_\lambda$ implica que sólo hay $\lambda$ muchos subconjuntos acotados de $\lambda$. Si $\lambda$ fue regular, a continuación, esto también significaría que $\lambda^{<\lambda}=\lambda$, ya que cualquier secuencia corta en $\lambda$ está acotada. Pero si $\lambda$ es singular, entonces hay elementos de ${}^{<\lambda}\lambda$, que es ilimitado en la $\lambda$, por lo que el truco anterior no se aplica.
