Mostrando $\frac{\sin x}{x}$ NO es Lebesgue Integrable en $\mathbb{R}_{\ge 0}$

Question

Vamos $$f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$$ on $\mathbb{R}_{\ge 0}$.

$$\int |f| < + \infty\quad\text{iff}\quad \int f^+ < \infty \color{red}{\wedge \int f^- < \infty}$$

EDIT: Entonces, ¿qué estoy tratando de hacer es mostrar que, de hecho,$\int f^+ > \infty$, de modo que por lo tanto $\int |f| = \infty$

Ahora considere la afirmación de que: $$\int f+ = \sum_{k=1}^\infty \int_{[2\pi k , 2\pi k + \pi]} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right) dx \le \sum_{k=1}^\infty\int_{[2\pi k , 2\pi k + \pi]} \left( \frac{\sin(x)}{2 \pi k + \pi}\right) dx$$

Dos Preguntas:

(1) Es el primer paso de la afirmación de que

$$ \int f^+ = \sum_{k=1}^\infty \int_{[2\pi k , 2\pi k + \pi]} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right) dx $$

correcto, en el sentido de que se puede crear una partición de una integral de Lebesgue en una serie INFINITA de las integrales de ser sumadas (cuyos plazo dominios cubrir todo el dominio total de la original de la integral s.t. también son disjuntos a pares)?

(2) hay una conocida límite inferior de $\sum_{k=1}^\infty\int_{[2\pi k , 2\pi k + \pi]} \left( \frac{\sin(x)}{2 \pi k + \pi}\right) dx$ que se bifurca cuya existencia se establece que $f^+$ es, de hecho, no integrable?

Answer 1

Es posible que desee comenzar por mostrar que $f$ es condicionalmente convergente. Esto demostraría que el $f$ no es Lebesgue integrable. Utilice el hecho de que $$\int_{(n - 1)\pi}^{n\pi} \frac{\left| \sin x \right|}{x} dx \geq \frac{1}{n\pi}\int_{(n - 1)\pi}^{n\pi} \left| \sin x \right| dx = \frac{2}{n\pi}$$ para obtener $$\int_0^{N\pi} \frac{\left| \sin x \right|}{x} dx \geq \frac{2}{\pi}\sum_{n = 1}^N \frac{1}{n}$$ lo que muestra que $$\int_0^\infty \frac{\left| \sin x \right|}{x} dx$$ es divergente.

Answer 2

Deje $f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Seguramente la función es medible, por lo que tenemos que demostrar que el $$\int|f(x)|dx=+\infty$$ Para ello tenemos que mirar más de cerca a la función. Para este fin, se nota que es casi como $x\mapsto\frac{1}{x}$, sin embargo, nuestra función tiene ceros por lo que no podemos comparar directamente. Un mejor enfoque es el uso que los valores máximos se alcanzan en $x=\frac{\pi}{2}+\pi \cdot n$, de hecho, tenemos $$|f(x)| \geq \frac{1}{\sqrt{2}x}, \quad\text{for $ \left|\frac{(2n+1)\pi}{2} x\right|\leq \frac{\pi}{4}$}$$ Ahora ¿cómo estimar la función de abajo?

Answer 3

Haciendo un cambio de variables, es suficiente para demostrar que

$$\int_\mathbb{R^+} |\sin(2\pi y)/y |dy$$ diverge.

Usted puede estimar por

$$\int_\mathbb{R^+} |\sin(2\pi y)/y | dy \geq \sum_{k=0}^\infty \int_{k+3/4}^{k+5/4}|\sin(2\pi y)/y | \geq 1/2\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \pi/4}{k + 5/4}$$ que diverge como es, esencialmente, la serie armónica.

Que yo pueda haber cometido un par de errores en las constantes, pero la idea es que usted puede caber rectángulos debajo de la curva de compararlo con la serie armónica

Answer 4

Es bien sabido que la integral de la $ \int_{0}^{\infty}\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|dx $ no converge. Ahora use el teorema de "una función de $f$ es Lebesgue integrable iff |f| es" mostrar, $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ no es Lebesgue integrable..