Tengo otra pregunta sobre la teoría de intersección "a la Fulton". Se trata de la fórmula de proyección, que establece que si tienes $$ \require {AMScd} \begin {CD} {X'} @>{ \pi '}>> {Y'} \\ @V{t'}VV @VV{t}V \\ X @>{ \pi }>> Y; \end {CD}$$ un diagrama cartesiano con flechas verticales planas (con dimensión relativa), y flechas horizontales apropiadas. Luego $$t^* \pi_ *={ \pi '}_*{t'}^*$$ .
Dice que podemos asumir que X e Y son variedades y $ \pi $ es surjectiva, lo que me parece bastante claro.
Pero luego dice: "Este es un cálculo local que involucra un anillo local de componentes irreductibles por lo que podemos asumir que X e Y son espectros de campos, Y' es un anillo local artístico, y X' es el producto tensorial que usted imagina.
He estado tratando de resolver los detalles de esa suposición durante casi un día, y no puedo reducir el problema a lo que Fulton dice que se reduce.
Es aún peor porque dice que en este caso los resultados siguen de un lema (bastante directo) que es si $A \to B$ es un moprismo local de anillos locales, que induce una extensión de grado d de los campos residuales, entonces la longitud de un módulo B visto como un módulo A es d veces la longitud del módulo B visto como un módulo B.
¡Y me cuesta mucho ver cómo este lema implica la declaración! Para mí debería haber una suma de longitudes de localización en ideales primarios mínimos en algún lugar para calcular el ciclo [X'].
Esto me lleva a una pregunta más general. Me siento un poco desesperado después de un par de días tratando de entender ese libro. Y pensé que tenía una formación decente en la teoría de los esquemas. A menudo tengo un problema "reduciendo una reclamación geométrica a su contenido algebraico"; como por ejemplo cuando la gente dice, "después del cambio de base nos queda probar que para un dominio local etc....", esta parte siempre me parece oscura, y tengo que trabajar tediosamente en los detalles para convencerme de los "procedimientos de reducción". ¿Se supone que eso es así? Porque Futlon parece tan casual, como si fuera obvio, y si no lo ves, bueno, hay algo que no has entendido.
En las matemáticas que he hecho hasta ahora, a veces dije que algo era "claramente" así, y sabía que si quería podía resolver los detalles, pero siento que, en la geometría algebraica, a veces no puedes cortar un argumento en pedacitos, tienes que verlo o no. Entonces, ¿es obvio para todos por qué ciertas reducciones funcionan (como la que se menciona en esa prueba)? ¿O soy sólo yo (y probablemente soy malo en alg. geom. ?
Perdón por esta larga pregunta. Y gracias.
