Hay una buena manera de encontrar esta integral $\int_0^1\frac{ \arcsin x}{x} \mathrm{d}x$?

Question

$$\int_0^1\frac{ \arcsin x}{x}\,\mathrm dx$$

Yo estaba buscando en mi cálculo de texto por casualidad cuando vi este ejemplo , la solución está escrito, pero también se usa muy difícil métodos para mí ! Me pregunto Si hay una buena manera de encontrar esta integral.

La idea de la solución en el texto es breve , Suponga $y=\sin(x)$ y el uso de la definición de integral impropia y algunas propiedades de la integral definida, para obtener $ -\lim_{\varepsilon \rightarrow0^+} \int_\epsilon^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(y-\varepsilon))\,dy$ a continuación, se utiliza el hecho de que $a= (a+a) \times \frac{1}{2}$ donde $a$ aquí es la integral , y, a continuación, hay un paso que no puedo entender hasta el momento( pero entiendo que la mayoría del resto de los pasos ) . y se mantiene la va a utilizar más y más trucos para conseguir el resultado final , $\frac{\pi}{2} \ln2$.

Ahora, trato de entender este método , Si no podía voy a pedir ayuda, pero en el momento, me pregunto si hay una buena manera de encontrar esta integral.

Answer 1

$$I = \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\frac{x\,dx}{\sin x}\cos x = x\log\sin x \bigg|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2} \log\sin x\,dx$$

Esta última integral es bien conocido para la igualdad de $-\frac{\pi}{2}\log 2$. Así

$$I = \frac{\pi}{2}\log 2$$

Answer 2

Usando integración por partes con $u=\arcsin(x)$ rendimientos

$$ \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\,dx = -\int_0^1 \frac{\ln(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=I .$$

Ahora, considere la integral

$$ F = \int_0^1 \frac{x^\alpha}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}{\frac {\Gamma \left( \frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2} \right) }{ \Gamma \left( \frac{\alpha}{2}+1 \right) }},$$

que puede ser evaluado usando la $\beta$ función (subs $x^2=t$ F). Ahora, $I$ sigue de $F$

$$ I = \lim_{\alpha\to 0}\frac{dF}{d\alpha}= \frac{\pi \ln(2)}{2}.$$