Encontrar un número de $A$, de modo que $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ siempre impar

Question

Encontrar un número de $A$, de modo que

• (1) $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ es siempre impar para $n\geq 1$;($\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero no mayor que $x.$)
• (2) $A>1$ $A^{3^n}$ nunca es un número entero para $n\geq 1$;(Este es el lugar que he editado.)
• (3) no Hay una forma cerrada fórmula para $A.$(Serie e integral también puede ser visto como una forma cerrada.)

Los molinos constante satisface (1) y (2), pero no (3) (hasta el momento).

Se puede construir un número que satisface (1) y (2) con más facilidad que la de los Molinos constante:

Deje $a_1=1,a_{n+1}=a_n^3+2~(n\geq1).$ Denotar $$A=\lim_{n\to \infty}a_n^{\frac{1}{3^n}}.$$ Entonces podemos demostrar que $\lfloor A^{3^n} \rfloor=a_n,$ por lo tanto $A>1$ $a_n$ es impar. La prueba es muy parecido a este. Pero no puedo encontrar una forma cerrada fórmula para $A$ nuevo.

Gracias de antemano !

Answer 1

Para cualquier entero $m \ge 2$, vamos a $A = m + \sqrt{m^2-1}$ y definir una secuencia $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ por:

$$T_n = A^n + A^{-n}$$

Es fácil ver $T_0 = 2$, $T_1 = 2m$ y $T_{n+2} = 2mT_{n+1} - T_{n}$ cualquier $n \ge 0$. A partir de esto, podemos concluir $T_n$ es un entero par para cualquier $n \ge 0$.

También está claro $A > 1$ y, por tanto, para todos los $n \ge 1$, tenemos:

$$\begin{align}0 < A^{-(3^n)} < 1 \implies & T_{3^n} - 1 < A^{3^n} = T_{3^n} - A^{-(3^n)} < T_{3^n}\\ \implies & \lfloor A^{3^n} \rfloor = T_{3^n} - 1 \text{ is an odd integer.} \end{align}$$