¿Cómo puedo encontrar $\lim_{n\to\infty}(\frac{n-1}{n})^n$

Question

¿Cómo puedo encontrar el límite para:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^n$$

Sé que se acerca $\frac{1}{e}$ pero no tengo ni idea de cómo funciona. [ ] $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-x}{n}\right)^n=\frac{1}{e^x}$$

Answer 1

1. (Véase el comentario de martini). Para la primera pregunta escriba $\frac{n-1}{n}$ como $$\begin{equation*} \frac{n-1}{n}=\frac{1}{\frac{n}{n-1}}. \end{equation*}$$ Aplicar límites y utilizar el definición de $\mathrm{e}$ te han dado $$\begin{equation*} \mathrm{e}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{n}. \end{equation*}$$ Tenemos $$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n-1}{n}\right) ^{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{n}{n-1}\right) ^{n}}= \frac{1}{\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n}{n-1}\right) ^{n}} \\ &=&\frac{1}{\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{n+1}}= \frac{1}{\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{n}\cdot\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{n}} \\ &=&\frac{1}{\mathrm{e}\cdot 1}=\frac{1}{\mathrm{e}}. \end{eqnarray*}$$
2. Sugerencia para la segundo pregunta: escribir $$\begin{equation*} \left( \frac{n-x}{n}\right) ^{n}=\left( \left( 1-\frac{1}{n/x}\right) ^{n/x}\right) ^{x}, \end{equation*}$$ utilizar la sustitución $m=n/x$ y aplicar límites.

Answer 2

Una de las propiedades básicas de $e$ es que $$ \lim_{ n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n=e$$

Aquí puedes encontrar la respuesta.

Answer 3

He aquí una buena estrategia, primero haz el límite del logaritmo de la expresión.

Sea $y = \left(1 - \frac{x}{n} \right)^n$ (que es lo mismo que tu expresión). A continuación, toma el logaritmo natural de ambos lados para obtener $$\ln y = \ln \left[\left(1 - \frac{x}{n} \right)^n \right] = n \cdot \ln \left(1 - \frac{x}{n} \right) = \frac{\ln \left(1 - \frac{x}{n} \right)}{\frac{1}{n}}$$ Ahora, como $n \to \infty$ la fracción final pasa a $\frac{0}{0}$ una forma indeterminada. Esto sugiere que probemos la regla de l'Hopital. Es decir

$$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \ln y &= \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left(1 - \frac{x}{n} \right)}{\frac{1}{n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-1} (x \cdot n^{-2})}{-n^{-2}} \\ &= \lim_{n \to \infty} -x\left(1 - \frac{x}{n} \right)^{-1} \\ &= -x \end{align*}$$

Por lo tanto, dado que la función exponencial $\exp(x) = e^x$ es continua, podemos mover el límite dentro o fuera de esta función (por la definición de continuidad) y así encontrar el límite de $y$ sí mismo:

$$\lim_{n \to \infty} y = \lim_{n \to \infty} \exp(\ln y) = \exp \left( \lim_{n \to \infty} \ln y \right) = \exp (-x) = e^{-x}$$

Answer 4

Yo hago la primera parte y la segunda se hace de forma similar.

Solución 1 Sabemos que la derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$ . Por lo tanto, utilizando la diferenciación de primer principio, tenemos: $$ \begin{align*} \frac{1}{x}&=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} \end{align*} $$ Sea $n=\frac{1}{h}$ y $y=\frac{1}{x}$ así que ahora $$ y=\lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac{y}{n}\right)^n $$ Ahora dejemos que $y=-1$ entonces $$ \begin{align*} -1&=\lim_{n\to\infty}\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\\ \frac{1}{e}&=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \end{align*} $$

Solución 2 Usa la regla de L'Hopital: $$ \begin{align*} \lim_{n\to\infty}n\ln \left(1-\frac{1}{n}\right)&=-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{n}}\\ &=-1 \end{align*} $$ El resto es como la solución 1.

Answer 5

Para la primera, toma el recíproco y sustituye $n\mapsto n+1$ para obtener $$ \begin{align} \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^n} &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^n\\ &\stackrel{n\to n+1}{=}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\\ &=e\cdot1 \end{align} $$ Por lo tanto, $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\dfrac1e$ .

Para el segundo, toma el recíproco y sustituye $n\mapsto nx+x$ para obtener $$ \begin{align} \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-x}{n}\right)^n} &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n-x}\right)^n\\ &\stackrel{n\to nx+x}{=}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{nx+x}{nx}\right)^{nx+x}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^x\\ &=e^x\cdot1 \end{align} $$ Por lo tanto, $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-x}{n}\right)^n=\dfrac{1}{e^x}$ .

Podríamos haber comenzado desde el segundo y establecer $x=1$ para el primero.