¿Es posible escribir $\tan^{-1}(x)$ como una serie de potencias de $\tanh(x)$ ?

Question

$\tan^{-1}(x)$ se parece mucho a $\tanh(x)$ si $x$ es lo suficientemente pequeño.

Mira.

Pero difieren entre sí como $x$ crece.

Y para los muy grandes $x$ 's, Casi representan las funciones constantes $1$ y $\frac \pi 2$ (para $\tanh(x)$ y $\tan^{-1}(x)$ respectivamente).

¿Es posible escribir $\tan^{-1}(x)$ como una expansión de potencia de $\tanh(x)$ ?

¿Podemos decir esto?

$$\tan^{-1}(x)=\sum^{\infty}_{i=0} \alpha_i \tanh^i(x)$$

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La serie de potencia es lo que quiero. No el parecido entre ellos.

Answer 1

Dejemos que $u=\tanh x \iff \tanh^{-1}u=x$ . Entonces basta con ampliar $\tan^{-1}\tanh^{-1}u$ alrededor de $u=0$ .

Verá que $\tan^{-1}\tanh^{-1}u=u+\frac{u^5}{15}+\frac{u^7}{45}+\frac{64u^9}{2835}+O(u^{11})$ y por lo tanto

$$\tan^{-1}x=\tanh x+\frac{(\tanh x)^5}{15}+\frac{(\tanh x)^7}{45}+...$$

Answer 2

Una forma perezosa sería la regresión lineal $$\tan^{-1}(x)=\sum^{n}_{i=0} \alpha_i \tanh^{2i+1}(x)$$ y, para la gama $-1 \leq x \leq 1$ , se podría obtener, utilizando $y=\tanh(x)$ , $$\tan^{-1}(x)=0.990525 y+0.062262 y^3$$ $$\tan^{-1}(x)=1.00139 y-0.0178282 y^3+0.117721 y^5$$ $$\tan^{-1}(x)=0.999706 y+0.00644068 y^3+0.0302925 y^5+0.0897757 y^7$$

Editar

En la buena solución de Will Sherwood, falta el término cúbico (y esto es correcto según el enfoque utilizado). Sin embargo, al realizar la última regresión lineal dada, el término correspondiente es altamente significativo $$\begin{array}{clclclclc} \text{} & \text{Estimate} & \text{Standard Error} & \text{Confidence Interval} \\ a & 0.999706 & 0.000026 & \{0.999654,0.999758\} \\ b & 0.006441 & 0.000306 & \{0.005836,0.007045\} \\ c & 0.030293 & 0.001044 & \{0.028233,0.032352\} \\ d & 0.089776 & 0.001061 & \{0.087684,0.091867\} \\ \end{array}$$ y, en el rango considerado, el ajuste de la curva es mejor que la expansión séptica teórica en cuanto $x >0.5$ .