Al tomar la raíz de un número complejo, se divide en varios puntos en el plano complejo. Puedo ver cómo esto viene matemáticamente, pero esto es difícil para mí entender intuitivamente.
Se trata simplemente de una conveniente coincidencia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La regla para la multiplicación de números complejos es agregar los argumentos y multiplicar la longitud. Es decir, multiplicando por un número complejo corresponde a una rotación combinada con una operación de escalado. Por lo tanto, si usted quiere multiplicar un número complejo $n$ veces por sí mismo y producir un determinado módulo de $r$ y un ángulo determinado $\theta$, el módulo tiene que ser $\sqrt[n] r$, pero en realidad hay $n$ diferentes ángulos tales que la rotación de ellos $n$ veces produce una rotación de $\theta$ radianes.
Pero en realidad, no estoy seguro de que incluso hay nada que explicar. Si usted tiene un montón de cosas que usted puede multiplicar juntos, entonces un "$n$-ésima raíz" sólo significa "algo que cuando se multiplica por sí mismo $n$ veces produce un determinado resultado". Por qué, intuitivamente, podría no sólo ser uno de esos?
dxiv
Puntos
1639
Puede ser más fácil a primera racionalizar que el complejo de $n^{th}$ raíces de la unidad son los vértices de un regular $n$-gon inscrito en el círculo unidad.
A continuación, vamos a $\omega$ ser una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad, de forma que $\omega^n=1$. Si $z_0$ es cualquiera de las $n^{th}$ raíces de $z$, se deduce que el $w^k z_0$ $n^{th}$ raíz de $z$, ya que el $(\omega^kz_0)^n=(\omega^{n})^kz_0^n = 1^k \cdot z = z$. Por lo tanto, el conjunto completo de la $n$ $n^{th}$ las raíces de $z$ $\{z_0, \omega z_0, \omega^2 z_0, \dots, \omega^{n-1}z_0\}$ que son los vértices de un regular $n$-gon centrado en el origen y "anclado" a $z_0\,$. Que $n$-gon es solo el regular $n$-gon de la $n^{th}$ raíces de la unidad $\{1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}\}$ escala por $|z_0|=\sqrt[n]{|z|}$ y girado por $\arg(z_0)\,$.
benji
Puntos
1552
No estoy seguro de lo que significa la comprensión intuitiva..
Considere la posibilidad de $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, entonces las raíces son
$$ z_k = r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n}),\ \ k = 0, \ 1,\ldots,\ n-1 $$
Esto siempre da $n$ raíces distintas. Tal vez esto es lo que significaba que entiende matemáticamente..
Geométricamente, cuando se multiplican $2$ números complejos, $z_1=r_1e^{i\theta_1},\ z_2=r_2e^{i\theta_2}$, consigue $z=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
De esta forma, se lleva a $z_1$ y multiplica el radio por que de $z_2$ y gira por el ángulo de $z_2$.
Ahora, volviendo a las raíces de la $z_k$$z$, su radio es $r^{\frac{1}{n}}$, por lo que la multiplicación de ellos da radius $r$, y su ángulo es$\frac{\theta + 2\pi k}{n}$, por lo que la rotación $n$ veces por el mismo ángulo de da $\theta + 2\pi k$
¿Que sentido?
Simple Art
Puntos
745
Para los números complejos, cuando le dices a tomar la "raíz", se está refiriendo a todas las soluciones para el problema siguiente:
$$x^n=z$$
donde $x$ $n$th raíz de $z$. Como un simple caso, considere la posibilidad de $n=2$$z=1$. A continuación,
$$1^2=(-1)^2=1$$
$$x=\begin{cases}+1\\-1\end{cases}$$
Similar sucede para mayor $n$, y bastante simétricos división manera.
