Lugar de los puntos tal que mirar hacia la Meca es lo mismo que mirar hacia el este

Question

Llegamos a pensar en este problema:

Alí es un buen musulmán que viaja mucho. En una ocasión, cuando Alí está rezando, orientado correctamente hacia La Meca, se da cuenta de que también está orientado exactamente hacia el este.

¿Dónde puede estar Ali?

Las coordenadas geográficas de La Meca son $21.4^\circ\text{N}$ y $39.8^\circ\text{E}$ (puedes cambiar a un sistema de coordenadas que utilice la longitud de La Meca como meridiano cero). Puedes suponer que la Tierra es una esfera perfecta y que Alí está en su superficie.

Nos hemos dado cuenta de que la solución consta de dos "componentes". Uno es una curva con la Meca (donde la orientación correcta no está bien definida) como punto final del sur y el Polo Norte (donde el este es "todas las direcciones") como punto final del norte. La otra componente se obtiene a partir de la primera desplazando rígidamente la curva a lo largo de la superficie de la Tierra de forma que conecte el punto antípoda de La Meca con el Polo Sur.

No sabemos si cada "componente" es un arco de círculo pequeño.

En lugar de resolver el problema nosotros mismos (somos perezosos), pensamos que algunas personas aportarían algunas buenas soluciones en este foro. Sería interesante tanto con fórmulas como con representaciones visuales (como globos con la curva de solución trazada en ellos).

Ampliando el problema: ¿Y si, en el texto del problema, cambias la dirección "este" por "noreste"; obtendrías una nueva curva? ¿O "este-noreste", etc.? Así se obtiene toda una familia de curvas que podrían representarse en un globo terráqueo.

Además, ¿alguien sabe si se trata de un problema muy conocido que tiene su propio nombre o referencia?

Enlace a Wikipedia: Qibla

Answer 1

Voy a dar una solución sencilla utilizando coordenadas. Esto no responde a la pregunta de "¿Es este un problema conocido que tiene su propio nombre o referencia?"

Tenemos una esfera con dos puntos distinguidos: el Polo Norte, $N$ y la Meca, $M$ . En cualquier tercer punto $A$ orientado al este significa orientado en la dirección perpendicular a la geodésica de $A$ a $N$ . Frente a $M$ significa orientarse en la dirección de la geodésica $AM$ . Por lo tanto, buscamos el lugar de los puntos $A$ tal que las geodésicas $AN$ y $AM$ son perpendiculares.

Tomemos la Tierra como una esfera unitaria centrada en el origen $O$ siendo las coordenadas de los puntos $N=(0,0,1)$ , $M=(\cos\theta,0,\sin\theta)$ y $A=(x,y,z)$ . El ángulo entre los grandes círculos $AN$ y $AM$ es igual al ángulo entre las normales de los planos $AON$ y $AOM$ que los contiene. Esto da la condición $(A\times N)\cdot(A\times M)=0$ que se simplifica en $$(x^2+y^2)\sin\theta=xz\cos\theta.$$