Las formulaciones estándar de la QM y la QFT son tales que el espacio de Hilbert resultante es siempre separable, es decir, existe una base de Hilbert contable finita o infinita (y por lo tanto todas las bases de Hilbert son del mismo tipo correspondientemente).
La separabilidad se exige como axioma desde el principio o surge como consecuencia de axiomas más básicos. En particular
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Para los sistemas elementales no relativistas, todas las representaciones irreducibles de $X_j$ y $P_k$ Los RCC producen espacios de Hilbert separables $L^2(\mathbb R^n, d^nx)$ en vista de la célebre Teorema de Stone-Von Neumann . Añadir el giro no altera el resultado porque el espacio se convierte en $L^2(\mathbb R^n, d^nx) \otimes \mathbb C^{2s+1}$ que sigue siendo separable.
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Si el sistema elemental es relativista y, por tanto, soporta una representación unitaria irreducible fuertemente continua del grupo de Poincaré, la separabilidad surge por la clasificación de dichas representaciones que funciona en espacios de Hilbert de la forma $L^2(\mathbb R^n, d^nk) \otimes \mathbb C^{2s+1}$ .
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Los sistemas compuestos finitos se obtienen tomando un producto tensorial finito de sistemas elementales, de modo que se preserva la separabilidad.
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En ausencia de fenómenos complicados como la ruptura espontánea de la simetría (ver más abajo), asumiendo la completitud asintótica, la QFT se define en un espacio de Fock construido a partir de espacios de Hilbert separables (espacios de una partícula). Estos espacios de Fock son separables.
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En el espaciotiempo curvo, al menos en los espaciostiempos estáticos y utilizando el vacío estático como vacío de la representación de Fock, la separabilidad sigue estando garantizada ya que el espacio de una partícula sigue siendo un $L^2$ sobre un espacio separable (en el sentido de la teoría de la medida).
La no separabilidad puede surgir en presencia de continuo reglas de superselección si se imaginan como una suma directa en lugar de una engorrosa integral directa de sectores. Piense en un no relativista sistema que admite un operador de masas $M$ cuyo espectro $\sigma(M)$ es un intervalo, por ejemplo $(a,b)$ . El espacio de Hilbert resulta ser la suma ortogonal directa de una clase infinitamente continua de eigenspaces $\cal H_m$ del operador de masa $$\cal H = \oplus_{m \in \sigma(M)} \cal H_m$$ para que $\cal H$ no puede ser separable ya que admite una secuencia incontable de subespacios ortogonales por pares.
Obsérvese que el espectro de $M$ es un espectro puntual puro formado por un intervalo $\sigma(M) = \sigma_p(M) =(a,b)$ en esta foto.
Aquí, si se admite que el sistema soporta una representación (unitaria proyectiva) del grupo Galileo, debido a La regla de superselección de Bargmann de la masa La física cuántica se describe en cada subespacio por separado (de forma estándar ${\cal H}_m = L^3(\mathbb R, d^3x)$ si el sistema es una partícula con masa $m$ y $m$ aparece en ella como parámetro fijo ) y como máximo superposiciones incoherentes de estados de diferentes subespacios están permitidos.
En cada uno de estos subespacios ${\cal H}_m$ vectores son normalizable y todos los observables $A$ de la teoría admiten cada ${\cal H}_m$ como subespacio invariante, ya que $A$ se desplaza con $M$ .
El hecho de que los vectores de cada ${\cal H}_m$ son normalizables es la diferencia básica con el imagen integral directa donde los vectores son, en cambio, similares a los kets $|x\rangle$ tal que $\langle x| x \rangle$ no tiene sentido. En esta representación $\sigma(M)$ es un espectro continuo pero la teoría es bastante singular en cada sector coherente ${\cal H}_m$ que es no un subespacio del espacio global de Hilbert. Por lo que recuerdo, una situación similar se da en la gravedad cuántica de bucles...
La no separabilidad surge también cuando se rompe espontáneamente alguna simetría y se consideran todos los espacios de Hilbert posibles (parametrizados continuamente) como subespacios ortogonales de un espacio de Hilbert global.
Los espacios de Hilbert no separables tienen la patología de que la mecánica estadística cuántica no puede formularse, al menos, de forma estándar, ya que la traza de los operadores estadísticos habituales que describen el equilibrio necesariamente diverge. Esto se debe a que el operador hamiltoniano global (si se supone que tiene un espectro puntual puro) admite una base incontable de vectores propios. Sin embargo, en cada sector de superselección no surge ningún problema.
En presencia de espacios de Hilbert no separables, quizás el enfoque algebraico parece más adecuado. El equilibrio termodinámico puede describirse en términos de la condición KMS para un estado algebraico sobre un álgebra C* de observables.
La no separabilidad surge desde un punto de vista muy abstracto cuando se consideran todas las representaciones no unitariamente equivalentes de una determinada C*-álgebra de observables, por ejemplo, los operadores de campo referidos a todas las posibles vacas, en un espacio de Hilbert único formado por todas las representaciones GNS de estas vacas.
Apéndice . Como me di cuenta tras una discusión con un colega (en la escuela de física de Les Houches) la separabilidad del espacio de Hilbert surge en cuanto el sistema admite (es) una representación unitaria irreducible fuertemente continua de un grupo de Lie conectado de simetrías. (Si alguien está interesado en la prueba sólo tiene que preguntarme). Esto incluye tanto el caso de una partícula no relativista como el de una partícula relativista mencionado anteriormente en particular.
