¿Cuál es la 2017th dígitos (desde la derecha) de $2017^{2016^{2015^{\cdots^1}}}$?

Question

¿Cuál es el valor de la $2017^{\rm th}$ dígito comenzando por el lado derecho de $$ {2017^{2016^{2015^{\ldots 1 }}}}?$$

Mi intento: $$2017^{n} \equiv x \pmod {10^{2017}} \quad \Longrightarrow \quad { 7 }^{ n } \equiv x \pmod {{ 10 }^{ 2017 }}.$$ me he detenido en este punto. Así, en primer lugar de todos los "me podría decir algunos libros que pueden mejorar mis habilidades en la teoría de los números" y, finalmente, espero que usted me puede ayudar a encontrar esta pregunta.

Answer 1

Esta no es una respuesta sólo información útil tal vez, me encontré ${2017^{2016^{2015^{\ldots 1 }}}}\equiv 1\pmod{2^{2017}}$ ${2017^{2016^{2015^{\ldots 1 }}}}\equiv 2017\cdot 3^{5^{2016}}\pmod{5^{2017}}$ Ahora esto probablemente podría ser resuelto por el CRT con una buena calculadora o si la combinación de ellos, se puede conseguir algo que tiene menos de $2017$ dígitos $\mod 10^{2017}$ puede comprobar $\log_{10}$ de los que deben ser más pequeños, a continuación,$2016$, entonces se puede concluir que el $2017th$ dígito es $0$.

Todo lo de abajo es como yo tenemos los dos el modulo anterior.

Vamos a tratar el CRT $$2017^{\varphi(2^{2017})}\equiv 1\pmod{2^{2017}}$$ Desde $\varphi(2^{2017})=2^{2016}$ $2^{2016}\mid 2016^{2015}$ tenemos que ${2017^{2016^{2015^{\ldots 1 }}}}\equiv 1\pmod{2^{2017}}$ También tenemos $\varphi(5^{2017})=4\cdot 5^{2016}$ $$2017^{\varphi(5^{2017})}\equiv 1\pmod{5^{2017}}$$ Ahora vamos a dividir ${2016^{2015^{\ldots 1 }}}\pmod{4\cdot 5^{2016}}$ por el CRT $${2016^{2015^{\ldots 1 }}}\equiv 0\pmod{4}\\{2016^{2015^{\ldots 1 }}}\pmod{5^{2016}}$$ Ahora veamos $${2015^{2014^{\ldots 1 }}}\pmod{4\cdot5^{2015}}$$ De nuevo permite dividir el CRT $${2015^{2014^{\ldots 1 }}}\equiv (-1)^{2014^{\ldots 1 }}\equiv 1\pmod{4}\\{2015^{2014^{\ldots 1 }}}\equiv 0\pmod{5^{2015}}\\{2015^{2014^{\ldots 1 }}}\equiv 5^{2015}\pmod{4\cdot 5^{2015}}$$ Ahora volvamos a la segunda ecuación $${2016^{2015^{\ldots 1 }}}\equiv2016^{5^{2015}}\pmod{5^{2016}}$$ Por el teorema binomial si escribimos $2016=5\cdot 403+1$ y nos damos cuenta de que $$5^{2015}\mid {5^{2015}\choose k}$$ for $k\no= 0,5^{2015}$ we see that the only term not divisible by $5^{2016}$ is the term $1^{5^{2015}}$ por lo tanto, tenemos que $2016^{5^{2015}}\equiv 1\pmod{5^{2016}}$,ahora vamos a combinar esta ecuación con la $\pmod{4}$ y obtenemos ${2016^{2015^{\ldots 1 }}}\equiv 3\cdot 5^{2016}+1\pmod{4\cdot 5^{2016}}$ Ahora finalmente nos quedamos con $$2017^{3\cdot 5^{2016}+1}\equiv 2017\cdot (2017^{5^{2016}})^3\pmod{5^{2017}}$$ Como la última vez por el teorema del binomio($2017=403\cdot 5+2$) podemos ver el único término que no divisible por $5^{2017}$$2^{5^{2016}}$, por lo que tenemos que $$2017\cdot (2017^{5^{2016}})^3\equiv 2017\cdot (2^{5^{2016}})^3\equiv 2017\cdot 8^{5^{2016}}\equiv 2017\cdot 3^{5^{2016}}\pmod{5^{2017}}$$