El fracaso de suavizado de la teoría topológica de 4-variedades

Question

Suavizado de la teoría de falla por topológico de 4-variedades, en el que una suave estructura topológica 4-colector $M$ no es equivalente a un vector paquete de la estructura de la tangente microbundle de $M$. Hay una explícita compacto contraejemplo, es decir, hay dos compacto liso 4-variedades que son homeomórficos, han isomorfo tangente paquetes, pero no se diffeomorphic? (Una cantidad no numerable de suave estructuras en $\mathbb{R}^4$ debe dar una noncompact contraejemplo, ya que $la parte Superior(4)/O(4)$ no tiene una cantidad no numerable de componentes.)

Addendum a la pregunta, añadió 12/11/09:

Yo también estoy interesado en el otro tipo de contraejemplo, de un nonsmoothable topológico 4-colector cuya tangente microbundle admite un vector paquete de estructura. ¿Alguien sabe que tal ejemplo? Tim Perutz la respuesta a mi primera pregunta, a continuación, dice que homeomórficos suave de 4 colectores han isomorfo tangente paquetes. Si no es cierto que todos los topológico de 4 colectores han vector paquete de mejoras de su tangente microbundle, ¿cuál es la obstrucción en el homotopy de $Superior(4)/O(4)$?

Answer 1

Juan, si usted mira en el capítulo 8 de Freedman-Quinn, el libro de topológico de 4 colectores, usted encontrará el siguiente cálculo de la homotopy grupos de la parte Superior(4)/O(4):

$\pi_3 = Z/2$ y $\pi_i = 0$ para $i=0,1,2,4$.

Esto implica que

• topológico, 4-colector tiene una reducción lineal de la tangente paquete si y sólo si el Kirby-Siebenmann invariante se desvanece

• si existe, la reducción es único.

Donaldson y Freedman resultados implica un montón de ejemplos de no-smoothable 4-colectores con el trivial de Kirby-Siebenmann invariante: cualquier unimodular intersección forma surge a partir de un cerrado simplemente conectado topológico 4-colector, y en el caso de que el Kirby-Siebenmann invariante es la firma/8 mod 2. Si el formulario es definitivo, no puede surgir de una suave colector. Furuta incluso mostraron que la característica de Euler/firma debe ser de $\geq 10/8$ para ser realizado sin problemas. La conjetura es obligado 11/8 y es realizada por la Kummer superficie.

Answer 2

Para un par de lisa, simplemente conexa, compacta, orientada a 4-colectores de $X$ y $Y$,

• Cualquier isomorfismo de la intersección de celosías $H^2(X)\H^2(Y)$ proviene de una orientada a homotopy equivalencia $Y\X$ (Milnor, 1958).

• Cualquier orientado homotopy de equivalencia es una tangencial homotopy de equivalencia (Milnor, Hirzebruch de Hopf-1958).

• Cualquier orientado homotopy equivalencia viene de un h-cobordism (Pared 1964).

• Cualquier orientado homotopy equivalencia viene de una homeomorphism (Freedman).

• No es necesario que sea el caso de que $X$ y $Y$ son diffeomorphic (Donaldson). Muchos ejemplos son ahora conocidos: por ejemplo, Fintushel-Stern nudo de la cirugía en 3d de la superficie da una familia de exóticos K3 del parametrizadas por el Alexander polinomios de nudos.

He aquí un esbozo de por qué homotopy equivalencias preservar la tangente paquetes: $X$ y $Y$ tiene tres característico de las clases: $w_2$, $p_1$ y $e$. Sin embargo, $e[X]$ es la característica de Euler, y $p_1[X]$ más de tres veces la de la firma. Por el Wu fórmula, $w_2$ es el mod 2 reducción de la coset de $2S^2(X)$ en $H^2(X)$ dada por la característica de los vectores, por lo tanto está determinada por la celosía. En el intento de construir un isomorfismo de la tangente paquetes a través de un determinado homotopy de equivalencia, las obstrucciones que uno se encuentra en $H^2(X;\pi_1 SO(4))=H^2(X;Z/2)$ y $H^4(X;\pi_3 SO(4))=Z\oplus Z$, y estos pueden ser coincidentes con los tres característicos de las clases.

Answer 3

Siempre me ha desconcertado acerca handlebody estructuras topológicas de 4 colectores. Ya en 1970 Kirby y Siebenmann había establecido que topológico n-variedades tienen un handlebody estructura para n>5 (véase el Ensayo III.2 en el 1976 K-S book), y Quinn demostrado que esta para n=5 en los Extremos de los Mapas III (1982). Por último, me acaba de mandar un correo electrónico a Kirby, quien le dio un simple argumento de que un topológico 4-colector tiene un handlebody estructura si y sólo si es smoothable. Me han enviado su correo electrónico en la cirugía de las páginas de el Colector de Proyecto Atlas.

Answer 4

Tomar cualquiera de los dos cerrado simplemente conectado a homeomórficos liso cerrado 4-variedades que no son diffeomorphic. Entonces sus productos con $\mathbb R$ son diffeomorphic debido a la suave estructura de un producto es único. (De hecho, desde PL/O está conectado 6, es suficiente para demostrar que el asociado PL estructura es única, pero el conjunto de PL-estructuras en un PL-colector $M$ de dimensión $\ge 5$ es bijective para el conjunto de homotopy clases de mapas desde $M$ a $la parte SUPERIOR/PL$, y el segundo espacio es de $K(\mathbb Z_2, 3)$, por lo que el conjunto de PL estructuras en $M$ es bijective $H^3(M,\mathbb Z_2)$, que se desvanece por Poncare dualidad si $M$ es homotopy equivalente a una simple conectado a $4$-colector; de hecho, el argumento muestra que todo lo que necesitamos es de $H_1(M;\mathbb Z_2)=0$).

De ello se desprende que el original cerrado simplemente conectado a $4$-colectores son tangencialmente homotopy equivalente, es decir, hay un homotopy equivalencia que tira estable tangente paquetes a cada uno de los otros.

Answer 5

Creo que usted está buscando el siguiente:
Una exótica {4}-colector por Selman Akbulut

Construimos dos compacto liso 4-variedades $Q_1, Q_2$ que son homeomórficos pero no diffeomorphic el uno al otro. En particular, no diffeomorphism $\partial Q_1 \rightarrow \partial Q_2$ se puede extender a un diffeomorphism $Q_1 \rightarrow Q_2$

Alternativamente, el límite de caso
Una exótica orientable 4-colector por Robert E. Gompf

En el presente trabajo, se presentan dos compacta orientable colectores (con límite), $M_1$ y $M_2$, que son homeomórficos, pero no diffeomorphic.

El mínimo simpléctica caso.
http://www.msp.warwick.ac.uk/gt/2008/12-02/p019.xhtml

Finalmente, usted tal vez como las siguientes notas por David Gay

Este papel describirá de una manera informal la construcción de una familia de 4manifolds que son homeomórficos pero no diffeomorphic.

La primera sección del documento (después de la introducción, por lo que es la sección 2 en el papel), se describe la costumbre de la construcción "de una familia infinita de diffeomorphism clases de 4manifolds en dos homeomorphism clases".
(Hablando a grandes rasgos, los ejemplos básicos de no diffeomorphic pero homeomórficos de 4 colectores se han construido de la siguiente manera : Vamos a $E(1)$ de ser el algebraico de la superficie, obtenida por la voladura de 9 puntos en $\mathbb{C}P^2$. Esta es una elíptica de la superficie. Vamos a $E(2)$ ser la suma de dos copias de la $E(1)$ (cómo se hace esto, se explica en la sección 2). Definir de forma inductiva $E(n)$ como la fibra suma de $E(n-1)$ y $E(1)$. Por transformaciones logarítmicas se puede construir a partir de estas $E(n)$'s de la elíptica en las superficies de $E(n, m_1,...m_n)$, donde $m_1,...,m_n$ son los órdenes de la transformación. Los ejemplos básicos de no diffeomorphic pero homeomórficos 4-variedades son de tal $E(n,p,q)$'s donde $p,q$ se relativly prime.)
Desde que pidió compacto ejemplos, esto no responde a su pregunta. Sin embargo creo (espero) que este último enlace es útil, ya que proporciona una breve introducción a los no diffeomorphic pero homeomórficos 4-variedades.