Por qué es necesario el signo absoluto en la definición de una función acotada

Question

Una función $f$ es limitada si existe un número real $M$ tal que $|f(x)| \le M$ % todos $x \in \operatorname{dom}(f)$. ¿Por qué es necesario el signo absoluto?

Answer 1

Porque si es sólo '$f(x)\leq M$' $f$ podría "sople hacia abajo" a $-\infty$.

Answer 2

Aquí está el porqué:

Supongamos que dejamos $f(x) = \begin{cases} x & x < 0 \\ 0 & x \geq 0 \end{cases}$.

¿Tal función se debe considerar "limitado"? Sin duda está delimitado desde arriba (por $1$ por ejemplo), así que $f(x) \leq 1$ es verdad para todos $x$...but no está delimitada desde abajo. $\lim \limits_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$, que significa que nuestra función no se limita desde abajo.

Esto es remediado por decir $|f(x)| \leq M$, pues entonces por definición, $|f(x)| \leq M$ implica $-M \leq f(x) \leq M$, por lo que $f$ está delimitado desde arriba y abajo.

Answer 3

Si $M\geq0$ $|y|\leq M$ es equivalente a $-M\leq y\leq M$, por lo que la definición que se acaba de decir no es$M\geq0$, de modo que $-M\leq f(x)\leq M$ todos los $x$. Esto es sólo un estándar de economía de la notación; puede que, simplemente, como bien han dicho no existe $M_1,M_2$ tal que $M_1\leq f(x)\leq M_2$ todos los $x$. Por otro lado, si los valores de $f$ son números complejos, entonces decir $f(x)\leq M$ no tendría sentido, y esto se convierte en algo más que sólo una abreviatura (aunque $|f(x)|\leq M$ todavía es equivalente a decir que las partes real e imaginaria de $f(x)$ están delimitadas).

Answer 4

Una definición más general de limitado es que una función (real) $f(x)$ es limitado si existen números reales $m, M$ tal que $m \le f(x) \le M $ % todos $x$. Ahora no hay ningún módulo y muestra que los límites superiores e inferiores no tienen que ser negaciones uno del otro.

Se deduce que si limita esta definición y $f$$L = max( |m|, |M|)$ y $|f(x)| \le L$ y por el contrario que si $|f(x)| \le L$ y $-L \le f(x) \le L$.

Answer 5

Caso 1:

$f$ $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ función de:

La definición puede tener varias formas equivalentes:

$\exists\ m, M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : m \leq f(x) \leq M$

$\exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : - M \leq f(x) \leq M$

$\exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : | f(x) | \leq M$

Cuando la enseñanza de cálculo generalmente se hace de esta manera:

$f$ es superior delimitada $\leftrightarrow \exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : f(x) \leq M$

$f$ es menor delimitada $\leftrightarrow \exists\ m \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : m \leq f(x)$

$f$ es (generalmente) delimitado $\leftrightarrow$ $f$ es superior e inferior limitada

Caso 2:

$f$ $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ función de:

Desde los números complejos no puede ser comparado con la única opción de las tres definiciones abowe es la tercera. Que también está en lo correcto reales y complejos, y aún más funciones abstractas si el $|.|$ está definido correctamente. Por ejemplo, el espacio euclidiano. Así también funciona para $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ funciones.

Tenga en cuenta que $|.|$ puede ser definido de varias maneras. Por ejemplo:

$\sqrt{(Im z) ^ 2 + (Re z) ^ 2}$

$|Im z| + |Re z|$