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Por qué es necesario el signo absoluto en la definición de una función acotada

Una función f es limitada si existe un número real M tal que |f(x)|M % todos xdom(f). ¿Por qué es necesario el signo absoluto?

25voto

Neal Puntos 16536

Porque si es sólo 'f(x)M' f podría "sople hacia abajo" a .

12voto

user46944 Puntos 10179

Aquí está el porqué:

Supongamos que dejamos f(x)={xx<00x0.

¿Tal función se debe considerar "limitado"? Sin duda está delimitado desde arriba (por 1 por ejemplo), así que f(x)1 es verdad para todos x...but no está delimitada desde abajo. lim, que significa que nuestra función no se limita desde abajo.

Esto es remediado por decir |f(x)| \leq M, pues entonces por definición, |f(x)| \leq M implica -M \leq f(x) \leq M, por lo que f está delimitado desde arriba y abajo.

7voto

GmonC Puntos 114

Si M\geq0 |y|\leq M es equivalente a -M\leq y\leq M, por lo que la definición que se acaba de decir no esM\geq0, de modo que -M\leq f(x)\leq M todos los x. Esto es sólo un estándar de economía de la notación; puede que, simplemente, como bien han dicho no existe M_1,M_2 tal que M_1\leq f(x)\leq M_2 todos los x. Por otro lado, si los valores de f son números complejos, entonces decir f(x)\leq M no tendría sentido, y esto se convierte en algo más que sólo una abreviatura (aunque |f(x)|\leq M todavía es equivalente a decir que las partes real e imaginaria de f(x) están delimitadas).

6voto

Tom Collinge Puntos 2672

Una definición más general de limitado es que una función (real) f(x) es limitado si existen números reales m, M tal que m \le f(x) \le M % todos x. Ahora no hay ningún módulo y muestra que los límites superiores e inferiores no tienen que ser negaciones uno del otro.

Se deduce que si limita esta definición y fL = max( |m|, |M|) y |f(x)| \le L y por el contrario que si |f(x)| \le L y -L \le f(x) \le L.

3voto

Caso 1:

f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} función de:

La definición puede tener varias formas equivalentes:

\exists\ m, M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : m \leq f(x) \leq M

\exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : - M \leq f(x) \leq M

\exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : | f(x) | \leq M

Cuando la enseñanza de cálculo generalmente se hace de esta manera:

f es superior delimitada \leftrightarrow \exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : f(x) \leq M

f es menor delimitada \leftrightarrow \exists\ m \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : m \leq f(x)

f es (generalmente) delimitado \leftrightarrow f es superior e inferior limitada

Caso 2:

f \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} función de:

Desde los números complejos no puede ser comparado con la única opción de las tres definiciones abowe es la tercera. Que también está en lo correcto reales y complejos, y aún más funciones abstractas si el |.| está definido correctamente. Por ejemplo, el espacio euclidiano. Así también funciona para \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m funciones.

Tenga en cuenta que |.| puede ser definido de varias maneras. Por ejemplo:

\sqrt{(Im z) ^ 2 + (Re z) ^ 2}

|Im z| + |Re z|

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