Una función f es limitada si existe un número real M tal que |f(x)|≤M % todos x∈dom(f). ¿Por qué es necesario el signo absoluto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Aquí está el porqué:
Supongamos que dejamos f(x)={xx<00x≥0.
¿Tal función se debe considerar "limitado"? Sin duda está delimitado desde arriba (por 1 por ejemplo), así que f(x)≤1 es verdad para todos x...but no está delimitada desde abajo. lim, que significa que nuestra función no se limita desde abajo.
Esto es remediado por decir |f(x)| \leq M, pues entonces por definición, |f(x)| \leq M implica -M \leq f(x) \leq M, por lo que f está delimitado desde arriba y abajo.
Si M\geq0 |y|\leq M es equivalente a -M\leq y\leq M, por lo que la definición que se acaba de decir no esM\geq0, de modo que -M\leq f(x)\leq M todos los x. Esto es sólo un estándar de economía de la notación; puede que, simplemente, como bien han dicho no existe M_1,M_2 tal que M_1\leq f(x)\leq M_2 todos los x. Por otro lado, si los valores de f son números complejos, entonces decir f(x)\leq M no tendría sentido, y esto se convierte en algo más que sólo una abreviatura (aunque |f(x)|\leq M todavía es equivalente a decir que las partes real e imaginaria de f(x) están delimitadas).
Una definición más general de limitado es que una función (real) f(x) es limitado si existen números reales m, M tal que m \le f(x) \le M % todos x. Ahora no hay ningún módulo y muestra que los límites superiores e inferiores no tienen que ser negaciones uno del otro.
Se deduce que si limita esta definición y fL = max( |m|, |M|) y |f(x)| \le L y por el contrario que si |f(x)| \le L y -L \le f(x) \le L.
Caso 1:
f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} función de:
La definición puede tener varias formas equivalentes:
\exists\ m, M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : m \leq f(x) \leq M
\exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : - M \leq f(x) \leq M
\exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : | f(x) | \leq M
Cuando la enseñanza de cálculo generalmente se hace de esta manera:
f es superior delimitada \leftrightarrow \exists\ M \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : f(x) \leq M
f es menor delimitada \leftrightarrow \exists\ m \in \mathbb{R} : \forall\ x \in dom(f) : m \leq f(x)
f es (generalmente) delimitado \leftrightarrow f es superior e inferior limitada
Caso 2:
f \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} función de:
Desde los números complejos no puede ser comparado con la única opción de las tres definiciones abowe es la tercera. Que también está en lo correcto reales y complejos, y aún más funciones abstractas si el |.| está definido correctamente. Por ejemplo, el espacio euclidiano. Así también funciona para \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m funciones.
Tenga en cuenta que |.| puede ser definido de varias maneras. Por ejemplo:
\sqrt{(Im z) ^ 2 + (Re z) ^ 2}
|Im z| + |Re z|