¿Valores propios de la lagrangiana?

Question

Se indica a menudo que el formalismo de Lagrange y el formalismo hamiltoniano son equivalentes.

A menudo escuchamos a personas hablan de valores propios de hamiltonianos pero nunca he oído una palabra acerca de valores propios de Lagrangianos.

¿Por qué es esto así? ¿No es útil? ¿no es posible hacerlo?

Answer 1

Estoy de acuerdo con Qmechanic pero sólo para poner una perspectiva diferente. Mientras que uno puede escribir fórmulas para el Lagrangiano, como $$ L = \frac{p^2}{2m} - U(x) $$ que sólo difiere de la de Hamilton por el signo menos, y aunque es posible que simplemente poner sombreros por encima de todos los operadores, a diferencia de la de Hamilton, el Lagrangiano no es un natural de operador en cualquier sentido.

La razón es simple. En la física clásica, el Lagrangiano es destinado a ser nada más que el integrando que define la acción $$ S = \int dt\, L(t)$$ y el significado de la acción – su definición de la propiedad – es que es extremized de entre todas las posibles trayectorias en las trayectorias de obedecer a las ecuaciones clásicas de movimiento: $$ \delta S = 0 $$ Para promover el Lagrangiano de un operador significaría para promover la acción de un operador. Pero si fuera así, tendríamos que calcular un operador de valores de la función de un clásico de trayectoria, $S[x(t)]$. Pero esto es una contradicción, porque cualquier clásico de la trayectoria de $x(t)$ es, por supuesto, la clásica, por lo que es un $c$-número, por lo que cualquier funcionales calculado a partir de estos $c$-los números son $c$-los números así. No son los operadores.

Es por eso que el Lagrangiano y la acción realmente no entrar en el operador "formalismo" de la mecánica cuántica. En su lugar, la promoción de los derechos de la Lagrangiana y la acción en el mundo de la mecánica cuántica es el de Feynman de la descripción de la mecánica cuántica en términos de las integrales de camino. En esa imagen, se calcula directamente la probabilidad (de transición), la amplitud sumando sobre todas las trayectorias clásicas mientras que $\exp(iS/\hbar)$ es el integrando en la suma (integral) de más de trayectorias (las historias). Este Feynman de la imagen inmediatamente explica el motivo de la acción extremized en la física clásica. Cerca de las trayectorias que extremize $S$, el valor de $S$ es casi constante para el líder de aproximación, por lo que estas trayectorias "de interferir constructivamente", mientras que todas las otras trayectorias casi cancelar debido a que sus contribuciones son aleatorios fases $\exp(i\phi_{\rm random})$.

Answer 2

El Hamiltoniano es tan útil, ya que es en realidad el operador que provee la traducción en el tiempo (en sistemas autónomos). Sabemos que cualquier cantidad física en el espacio de fase en el formalismo Hamiltoniano es evolucionado como $$\frac{df}{dt} = \{f,H \}$$ Donde $\{\}$ es el corchete de Poisson. Es pues natural que decir $$\frac{d}{dt} = \{\cdot,H\}$$ y una pequeña evolución de una cantidad en el tiempo es, pues, $$f(t + \delta t) = f(t) + \frac{d f}{dt} \delta t = (1 + \delta t \frac{d}{dt})f$$ una traducción exacta por un tiempo de $\Delta t$ puede ser expresado como $${\rm lim}_{N \to \infty} (1+ \frac{\Delta t}{N} \frac{d}{dt})^N = exp(\Delta t \frac{d}{dt}) = exp(\Delta t \{\cdot,H\})$$

Cuando pasamos a la mecánica cuántica, la cuantización canónica procedimiento nos dice que el sustituto $\{,\} \to [\,,]/(i\hbar)$ donde $[\,,]$ es el conmutador de dos operadores. Cualquier cantidad física representada por un operador, a continuación, se desarrolló como (de nuevo, tenga en cuenta el sistema de ser autónomo) $$A(t+\Delta t) = exp(- i\Delta t [\cdot,H]/\hbar)A(t) $$ Esta sería la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica. Un argumento similar conduce al hecho de que ningún estado está evolucionado como $$|\psi\rangle (t + \Delta t) = exp(-i \Delta t H/\hbar)|\psi\rangle (t)$$ Si $\psi$ es por casualidad un autovector de a $H$ con autovalor $E$, la evolución es trivial $$|\psi\rangle (t + \Delta t) = exp(-i \Delta t E/\hbar) |\psi\rangle (t)$$ Es decir, la fase del estado está cambiando, pero cualquier valor medible del estado se mantiene constante. Llamamos a esta evolución estacionaria y esta es la razón por la que los valores propios y vectores propios del Hamiltoniano son tan importantes.

Para una de Lagrange, esto no es cierto - es autovalores no apunte directamente a cualquier cantidad mensurable, no tienen ninguna importancia en la teoría, y, en general, que acaba de ser extra de trabajo para calcular.

Answer 3

Comentario a la pregunta (v1): a diferencia de la hamiltoniana $H$ (que es una constante de movimiento si no hay ninguna dependencia explícita del tiempo), el Lagrangiano $L$, como un observable, por lo general no se conserva en el tiempo. Piense por ejemplo en un oscilador armónico.