Puede que sea una pregunta mal formulada - por favor, hágamelo saber - pero ¿cuál es la forma correcta de pensar en el haz cotangente? Parece impar pensar en él como el dual del haz tangente (estoy encontrando impar reconciliar las nociones de "mapas al campo de tierra" con este objeto).
Respuestas
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Una forma fructífera de pensar en ello, si tienes conocimientos de física, es como espacio de fase. Tu colector es el espacio de configuración de un sistema de partículas, y el haz cotangente son las fases, por lo que las direcciones cotangentes son las velocidades. Esto es útil también con la estructura simpléctica en $T^*M$ .
Kevin Dente
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No estoy completamente seguro de lo que quieres decir con esto: "Parece impar pensar en él como el dual del haz de tangentes (me parece impar conciliar las nociones de "mapas al campo de tierra" con este objeto)", pero quizás lo siguiente te ayude a ver por qué es natural considerar el espacio dual del haz de tangentes.
Dada una función f en nuestra variedad, queremos asociar algo así como el gradiente de f. Pues bien, en cálculo, ¿qué caracteriza al gradiente de una función? Es el campo vectorial tal que cuando tomamos su producto punto con un vector v en algún punto p, obtenemos la derivada direccional, en p, de f a lo largo de v. En una variedad general no tenemos un producto punto (que es una métrica) pero podemos formar un campo covectorial (algo que da un elemento del haz cotangente en cualquier punto) tal que, cuando se aplica a un vector v, obtenemos la derivada direccional de f a lo largo de v. Este campo covectorial se denota df y se llama la derivada exterior de f.
Brian Vallee
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Quizás te interese este post de MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/17325/why-is-cotangent-more-canonical-than-tangent
(Lo siento, dejaría esto como comentario pero acabo de entrar en este sitio y no tengo suficiente reputación).
