Estoy haciendo un curso sobre curvas elípticas, y yo estoy atrapado en este.
Aquí están las definiciones de:
Deje $G$ ser un grupo y vamos a $A$ $G$- módulo (es decir, un $\mathbb{Z}[G]$-módulo). Tenemos el "cochains" $$C^1(G,A)=\{\text{maps }: \; G \rightarrow A\},$$ and "cocycles" $$Z^1(G,A)=\{(a_\sigma)_{\sigma \in G}\; | \; a_{\sigma \tau}=\sigma a_\tau+a_\sigma \},$$ and "coboundaries" $$ B^1(G,A)=\{(\sigma b-b)_{\sigma \in G}\}.$$ we have $$C^1(G,A) \supset Z^1(G,A) \supset B^1(G,A).$$ We then define the 1st cohomology group $$H^1(G,A)=\frac{Z^1(G,A)}{B^1(G,A)}.$$ For any normal subgroup $H \leq G$, we also have the inflation map $$ \text{inf}: H^1\left(\frac{G}{H}, A^H\right)\rightarrow H^1(G,A).$$
Deje $K$ ser un perfecto campo. A continuación, $G=\text{Gal}(\overline{K}/K)$ es un grupo topológico con base en torno a la identidad dada por la subconjuntos $\text{Gal}(\overline{K}/L)$ donde $[L:K]< \infty$. (Creo que también desee $L/K$ a Galois, pero el profesor no dijo esto).
Luego nos imponen que el estabilizador de cualquier $a \in A$ es un subgrupo abierto de $G$, y que el "cochains" son continuas w.r.t. la topología discreta para $A$.
A continuación, el profesor afirma que $$H^1(\text{Gal}(\overline{K}/K),A)=\lim_{\rightarrow}H^1\left(L/K, A^{\text{Gal}(\overline{K}/L)}\right).$$
Yo no puedo ver por qué esto es cierto. Realmente estoy luchando para conseguir un asimiento de los RHS. Aquí el directo de límite es finito extensiones $L$ $K$ con respecto a la inflación mapa.
Edit: aquí está mi intento de demostrar $$Z^1(\text{Gal}(\overline{K}/K),A)=\lim_\rightarrow \; Z^1\left( \text{Gal}(L/K),A^{\text{Gal}(\overline{K}/L)}\right).$$
Creo que lo que quiero mostrar es que una cocyle $(a_\sigma)\in Z^1(\text{Gal}(\overline{K}/K),A)$ es inducida por un cocyle en $Z^1( \text{Gal}(L/K),A^{\text{Gal}(\overline{K}/L)})$ algunos $[L:K]<\infty$.
Ahora, gracias a la continuidad que podemos encontrar una extensión finita de $K$, $L_1$, tal que el coset de $\text{Gal}(\overline{K}/L_1)$ está contenida en la preimagen de $0=a_1$. Desde este coset contiene $1$, es en realidad simplemente $\text{Gal}(\overline{K}/L_1)$.
Por la condición sobre estabilizadores, podemos encontrar $L_2$ de manera tal que un coset de $\text{Gal}(\overline{K}/L_2)$ corrige $a_1$, y de nuevo este coset es sólo $\text{Gal}(\overline{K}/L_2)$.
Tome $L$ a ser el Galois cierre de la compositum $L_1L_2$.
Supongamos $\sigma, \sigma' \in \text{Gal}(\overline{K}/K)$ tal que $\sigma|_L=\sigma'|_L$. A continuación,$\sigma^{-1} \sigma'=\tau \in \text{Gal}(\overline{K}/L)$. Por lo $$a_\sigma'=a_{\sigma \tau}=\sigma a_\tau+a_\sigma =a_\sigma.$$
Por lo tanto $a_\sigma$ sólo depende de $\sigma|_L$.
Así que para $\tau \in \text{Gal}(\overline{K}/L)$, $a_{\tau \sigma}=a_\sigma$. Por lo $\tau(a_\sigma)=a_{\tau \sigma}-a_\tau=a_\sigma$. Así, cada elemento de a $\{a_\sigma: \sigma \in \text{Gal}(\overline{K}/K)\}$ es fijo por $\text{Gal}(\overline{K}/L)$, según se requiera.
