¿Por qué se calculó esta probabilidad utilizando la Distribución Binomial?

Question

Lo siguiente es un ejercicio en este libro (Simulación de sistemas de eventos discretos - Cuarta edición).

Ejercicio 5.3

Una encuesta reciente indicó que el 82% de las mujeres solteras de 25 años de edad se casarán en su vida. Usando la distribución binomial, encuentra la probabilidad de que dos o tres mujeres en una muestra de veinte nunca se casen.

Solución

(De la solución manual del libro)

Sea X definido como el número de mujeres en la muestra nunca casadas

P(2 ≤ X ≤ 3) = p(2) + p(3)

\= $ \binom{20}{2} (.18)^2 (.82)^{18} + \binom{20}{3} (.18)^3 (.82)^{17} $

\= .173 + .228 = .401

Mi Pregunta

Si entiendo correctamente, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta de un número de éxitos en una secuencia de n experimentos de sí/no independientes.

Pero elegir 2 (o 3) mujeres de una muestra de 20 mujeres no es un experimento independiente, porque elegir la primera mujer afectará la probabilidad de los experimentos futuros.

¿Por qué se usó la distribución binomial aquí?

Answer 1

Creo que la pregunta está asumiendo que cada mujer tiene un 82% de probabilidad de casarse, independientemente de lo que hagan las demás mujeres.

No estamos eligiendo una muestra de 2 o 3 mujeres, simplemente estamos revisando el estado civil de 20 mujeres y viendo si hay 2 o 3 que estén solteras.

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EDICIÓN: Otra forma de ver el problema:

Supongamos que tenemos una piscina de bolas llenas con 1 millón de bolas. 820,000 son azules y 180,000 son rojas. Por lo tanto, si elijo una bola al azar, tengo un 82% de probabilidad de que sea azul y un 18% de que sea roja.

Ahora, ¿qué pasa si saco una bola azul, la tiro lejos, y decido querer sacar otra? Es verdad que la distribución de probabilidad ha cambiado, ya que ahora hay 819,999 bolas azules y 180,000 rojas, con un total de 999,999 bolas. Pero, por simplicidad, podemos asumir que la distribución de probabilidad no ha cambiado mucho (solo en ~$10^{-6}$ de hecho), por lo que mantener nuestra distribución 82%/18% seguirá siendo mayormente precisa.

Si saco un número pequeño de muestras en relación con el número total de bolas (~20 muestras en 1 millón), la distribución es aproximadamente binomial.

Así que a nivel matemático, tienes razón: la distribución sí cambia cuando muestreas sin reemplazo, pero creo que el problema quiere que hagas una suposición simplificadora.

Answer 2

La pregunta está insinuando que hay suficientes mujeres de 25 años (y una muestra lo suficientemente grande) para asumir que la probabilidad para cualquier mujer dada es 0.82 y, por lo tanto, las pruebas son independientes.

La probabilidad de que cada mujer se case en su vida es una prueba de Bernoulli independiente (o al menos se asume así para el propósito de la pregunta), y en consecuencia, como este experimento para una muestra dada forma una secuencia de pruebas de Bernoulli independientes, la distribución binomial es muy adecuada para usar.

Answer 3

"Dos o tres mujeres en una muestra de veinte" significa que saliste a la población general y encontraste una mujer para incluir en tu muestra. Luego hiciste esto $19$ veces más para que tuvieras una muestra de $20$ mujeres.

Ahora cuenta cuántas de las mujeres nunca se casarán. La respuesta $X$ es un número entero en el rango de $0$ a $20$, inclusive. Además, $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{20}$ donde $X_n$ es $1$ si la $n$-ésima mujer que incluiste en tu muestra nunca se casará, $0$ de lo contrario.

En ningún momento necesitas o quieres seleccionar dos o tres mujeres de tu muestra de $20$. Has seleccionado todas las $20$ mujeres de la población más grande, y esa es la última selección que debes hacer.

(El uso de coeficientes binomiales como $\binom{20}{2}$ puede causar algo de confusión en este punto, porque leemos $\binom{20}{2}$ como "$20$ elegir $2$". Pero $\binom{20}{2}$ no representa ninguna "elección" que hagas de tu muestra; todo lo que hace es ayudarte a contar los posibles resultados de tu muestra que tienen el resultado $X=2$.)

Como se señaló en otra respuesta, si la población de la que tomas muestra contiene un millón de mujeres que estaban solteras a los $25$ años, y exactamente $820,000$ de esas mujeres eventualmente se casarán, entonces después de poner a una mujer en tu muestra quedan $999,999$ mujeres restantes para elegir, de las cuales $819,999$ o $820,000$ están casadas, y en ambos casos la probabilidad de que la próxima mujer se case eventualmente no es exactamente del $82\%$.

Pero eso, en primer lugar, es innecesariamente "preciso" y, en segundo lugar, ni siquiera una interpretación muy buena de los resultados de la encuesta. Una encuesta no puede decirte exactamente cuántas mujeres en una población se casarán; es solo una estimación. Una interpretación más simple (para nuestros propósitos) de la encuesta es que cada vez que una mujer nace y llega a la edad de $25$ años sin casarse, tiene un $82\%$ de probabilidad de casarse más tarde. Podemos asumir que esto es cierto para cada mujer que llega a los $25$ años sin casarse, independientemente de lo que le suceda a cualquier otra mujer, y por lo tanto es razonable decir que cada mujer en toda la población que llega a los $25$ años sin casarse es una prueba de Bernoulli independiente con una probabilidad de $0.18$ de no casarse nunca. Siguen siendo pruebas de Bernoulli independientes incluso cuando solo miras a $20$ de ellas seleccionadas al azar.